FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FOLLETO DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS
ING. ELIZABETH REGALADO
PERIODO ABRIL 2014 – SEPTIEMBRE 2014




LOGICA MATEMATICA
Es una ciencia que más enseña a razonar correctamente.
Es el estudio de los métodos y principios que nos permite distinguir el razonamiento correcto e incorrecto, empleando símbolos para representar preposiciones.
PROPOSICION
Es una expresiónu oración que se puede asignar un valor que puede ser verdadero o falso pero no ambas a la vez, toda proposición se representa con letras tales como p, q, r, s, t.
OPERADORES LOGICOS
Dada dos proposiciones simples, se puede formar una proposición compuesta uniéndolas con operadores lógicos.


N°
OPERADOR LOGICO
TERMINO LOGICO
SIMBOLO
1
Negación
No
¬ ~
2
Conjunción
Y
^
3
Disyunción
O
V
4Disyunción Exclusiva
O lo uno ; O lo otro
V
5
Condicional
Entonces

6
Bincondicional
Si solo si


1.- NEGACION
La negación cambia el valor de verdad de una proposición.
p
¬p
1
0
0
1



2.- CONJUNCION
La conjunción es verdadera (v), (1) si todas las proposiciones son verdaderas.
p q
p ^ q
V
V
V
F
F
V
F

F
V

F
F
F

3.- DISYUNCION
La disyunción de 2 proposiciones es falsa (f), (0) si todas lasproposiciones son falsas.
p q
p ^ q
V
V

V
V
V
F
V
F


F
V


F
F


4.- DISYUNCION EXCLUSIVA
La disyunción exclusiva es verdadera (v), (1) si solo si p es verdadera y q es falsa o viceversa.
p q
p v q
V
V

F
V
F

V
V
F
V


F
F
F

5.- CONDICIONAL
El condicional es falso cuando el antecedente es verdadero (v), (1) y el consecuente es falso (f), (0).
P
q
p q
V
V
V
F
V
V
VF

F
V

F
F


6.- BICONDICIONAL
El bicondicional es verdadera (v), (1) cuando las 2 proposiciones son iguales.
p
q
P q
V
V
V
F
F
V
V
F

F
V

F
F


TAUTOLOGIA (V): Es aquella proposición compuesta que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables.
COTRADICCION (F): Es aquella proposición compuesta que es falsa para todos los valores de verdad de sus variables.CONTINGENCIA (V), (F): Es aquella proposición compuesta que es falsa y verdadera para todos los valores de verdad de sus variables.

PROPIEDADES DE LOS CONECTIVOS LOGICOS
LEYES DE IDEN POTENCIA


METODOS DE DEMOSTRACION
La demostración de un teorema es un procedimiento en el que se enlazan dos o más proposiciones utilizando reglas. El enunciado de un teorema incluye las proposiciones de partida yconstituyen la hipótesis (H) del teorema, si partiendo de la hipótesis H se puede llegar a otra proposición llamada tesis (T), se debe verificar que la proposición H->T es verdadera.
METODO DIRECTO
De acuerdo a la tabla de valores de verdad de la implicación, para demostrar que la implicación H -> T es verdadera, es suficiente demostrar que, si la proposición H es verdadera entonces T es verdaderaMETODO REDUCCION AL ABSURDO
En este método se supone que la estructura de razonamiento p→q no es tautológica.
De acuerdo a la tabla de valores de verdad de la implicación, para demostrar que la proposición p→q es verdadera, es suficiente deducir de la hipótesis p es verdadera y q es falsa, que es un resultado imposible, pues son dos proposiciones contradictorias.
METODO DE CONTRAEJEMPLO
Consisteen dar un ejemplo que no cumpla con la tesis, demostrando así que la tesis es falsa. Dicho ejemplo recibe el nombre de contraejemplo. El contraejemplo pone en evidencia que existe al menos un caso en el cual la proposición es falsa.
METODO DE INDUCCION
Permite probar resultados con números naturales, generalizando situaciones particulares. El principio de inducción se enuncia de la siguientemanera:
TEOREMA
Sea P(n) una proposición definida para todo n Z+. Si:
a) P (1) es verdadera.
b) P (k) →P (k+1) k 1 es verdadera; supuesto que P(k) es verdadera, entonces la proposición P(n) es verdadera, Z+.

CUANTIFICADORES
UNIVERSAL: (∀x, P(x))
EXISTENCIAL: (∃x, P(x))
CONJUNTOS DE LOS NUMEROS NATURALES
N=0, 1, 2,3………
PROPIEDADES:
CLAUSURATIVA:
∀x, yN ; x+yN
CONMUTATIVA:
x+yN
MODULATIVA:...