Fundamentos del algebra booleana

FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA BOOLEANA

Postulados básicos
La descripción básica de la formulación del algebra booleana se basa en conceptos de la teoría de conjuntos, donde se define formalmente unalgebra booleana como un conjunto matemático distributivo y complementado. Resumiremos aquí esta definición mediante un conjunto de postulados que sintetiza los elementos y propiedades básicos de unalgebra booleana.

Postulado 1(definición)
Un algebra booleana es un sistema algebraico cerrado formado por un conjunto K de dos o mas elementos y los dos operadores • y +; de manera alternativapara cada a y b un conjunto K, a • b pertenece a K y a + b pertenece a K (+ se llama OR y • se llama AND).

Postulado 2(existencia de los elementos)
En el conjunto K existen los elementos 1 (uno) y0(cero), únicos, tales que para toda a en K

a) a + 0 = a,
b) a • 1 = a,

donde 0 es el elemento neutro para la operación + y 1 es el elemento neutro para la operación •.

Postulado3(conmutatividad de las operaciones + y •)
Para toda a y b en K

a) a + b = b + a,
b) a • b= b • a,

Postulado 4(asociatividad de las operaciones + y •)
Para toda a, b y c en K

a) a+ (b + c) = (a + b) + c,
b) a • (b + c) = (a • b) • c

Postulado 5 (distributivita de + sobre • y de • sobre +)
Para toda a b y c en K

a) a + (b • c) = (a + b) •(a + c),
b) a • (b •c) = (a • b) +(a • c),

Postulado 6 (existencia del complemento)
Para toda a en K existe un único elemento llamado ā (complemento de a) en K tal que

a) a + ā = 1,
b) a • ā = 0.

Coneste conjunto de premisas, podemos desarrollar otras relaciones útiles, que llamaremos teoremas. Para simplificar la notación en el resto del texto, suprimiremos el punto (•) al indicar la operación•.

a) a + b • c = (a + b) •(a + c),
b) a + b c = (a + b) (a + c),

Antes de desarrollar los teoremas, examinaremos los postulados con detalle para entender exactamente lo que significan....