Fundamentos

Univ. de Alcal´ de Henares a C´lculo. Segundo parcial. a

Ingenier´ de Telecomunicaci´n ıa o Curso 2004-2005

Funciones de dos variables. Gr´ficas y superficies. a
Puede ser conveniente la visualizaci´n en pantalla o el uso de una impresora en color para o algunas figuras

1.

Funciones de dos variables. Gr´ficas a
f :R→R

La primera parte del curso se ha centrado en el estudio de lasfunciones de una variable, El siguiente paso en complejidad lo representan las funciones de dos variables. f : R2 → R Estas funciones se representan a menudo mediante el s´ ımbolo: z = f (x, y) (esta mezcla de notaci´n z y f es com´n). o u Es posible representar gr´ficamente una de estas funciones f : R2 → R mediante su gr´fica: a a graf(f ) = (x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ U, z = f (x, y) Esta gr´fica es,hablando informalmente, una superficie en R3 : sobre cada punto (x, y) del plano a xy dibujamos un punto (x, y, z) a altura z = f (x, y). El conjunto obtenido al dibujar las im´genes a de todos los puntos (x, y) de U es la gr´fica de f . a Ejemplo 1.1. El ejemplo m´s sencillo (sin ser constante) de una de estas funciones es un a polinomio de grado 1, de la forma: z = f (x, y) = ax + by + c, con a, b,c constantes Esta funci´n tan sencilla tiene, naturalmente una gr´fica sencilla. La gr´fica est´ formada por o a a a los puntos del plano z = ax + by + c

1

Naturalmente, si se consideran funciones m´s complicadas sus gr´ficas se corresponden con a a superficies m´s complejas que el plano. a Ejemplo 1.2. Por ejemplo la funci´n o f (x, y) = (3/2)e 1+(x−1)2 +(y−1)2 −(5/2)e 1+(1/4)(x+1/2)2+(1/36)(y−1)2 +2e 1+(x−2)2 +(y−2)2 +2e 1+(x−1)2 +(y+1)2 tiene una gr´fica con este aspecto: a
1 1 1 1

Como puede verse en este ejemplo, en general una gr´fica se corresponde a una superficie con a un paisaje lleno de accidentes: cumbres, valles, puertos, etc´tera. Uno de nuestros objetivos es e ser capaces de identificar y describir esas caracter´ ısticas de la gr´fica, al igual que hemos hecho a en elcaso de las funciones de una variable. Por ejemplo, las cumbres de ese paisaje que forma la gr´fica se corresponden con los m´ximos locales de la funci´n z = f (x, y), y en las aplicaciones a a o resulta muchas veces esencial disponer de un procedimiento para localizar esos m´ximos con a tanta precisi´n como se desee. o

2.

Curvas de nivel

Hemos comparado la gr´fica de una funci´n z = f (x, y)con un paisaje con un cierto rea o lieve. En cartograf´ se utilizan las curvas de nivel para incorporar a un mapa (plano) alguna ıa informaci´n tridimensional del relieve que corresponde a la zona representada. En esta figura se o muestra una parte de un mapa cartogr´fico del Parque Nacional de Ordesa, en los Pirineos en a el que se aprecian con claridad esas curvas de nivel.

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En la esquinasuperior izquierda de este mapa aparece el Pico Descargador, una curiosa formaci´n o geol´gica en la que la naturaleza parece haber querido representar de modo expl´ o ıcito la idea de curvas de nivel. He aqu´ una foto de ese pico: ı

Las curvas de nivel se obtienen cortando la gr´fica con planos horizontales situados a distintas a alturas. En la siguiente figura se muestra una gr´fica (la delejemplo previo) cortada con dos a planos horizontales a distintas alturas.

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Si cortamos la gr´fica con varios de estos planos horizontales obtenemos una serie de curvas a situadas sobre la gr´fica: a

Y si ahora proyectamos esas curvas sobre el plano xy (lo cual equivale a mirar la gr´fica, el a paisaje, desde arriba, a vista de p´jaro) vemos una familia de curvas planas, que son las curvas ade nivel de esta gr´fica: a

Con algo de entrenamiento resulta sencillo aprender a interpretar estas familias de curvas para deducir a partir de ellas los accidentes del terreno que representa el mapa. 4

2.0.1.

Ecuaci´n de las curvas de nivel o

Un plano horizontal tiene por ecuaci´n: z = c con c constante La intersecci´n de la gr´fica o o a de f con el plano horizontal son por tanto...