Fundamentos

Clase No. 3

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

PROPOSICIONES ABIERTAS:

Anteriormente, se dijo: una proposición cerrada es unenunciado que, con todo sentido se puede clasificar como verdadero o falso.
Ahora consideremos otro tipo de proposiciones, por ejemplo:

1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]


En estoscasos no es posible decir si lo que se enuncia es verdadero o falso porque nada se ha dicho con respecto al valor de x. En los ejemplos dados se tiene que

1. Es verdadera para x=5 y falsa paralos demás valores de x.
2. Es verdadera para x=6 o -1 y falsa para los demás valores de x.
3. Es verdadera para todo x y falsa en ningún caso.
4. Es falsa para todo x y verdadera en ningúncaso.

Estas expresiones se llaman proposiciones abiertas.

Antes de definir lo que es una proposición abierta, daremos las definiciones de constante y variable.
Definición: Una constante es unelemento fijo de un conjunto dado.

Definición: Una variable es un símbolo que aparece en una proposición y que puede ser sustituido por un elemento cualquiera Universal “U” dado.

Las variables serepresentan comúnmente, pero no exclusivamente, por las ultimas letras del alfabeto: x, y, z.

Definición de proposición abierta: Una proposición abierta es una expresión que contiene una variable xy que se convierte en una proposición cerrada cuando x se sustituye por un valor determinado.

Observación

Las proposiciones abiertas pueden contener dos o más variables pero, para mejorcomprensión comenzaremos considerando el caso de una sola variable.


Cuando nos encontramos con el problema de asignar valores a x, debemos primero decidir cuales son los valores permisibles de x.Esto es, debemos determinar un conjunto de números, de figuras geométricas, de personas, etc. que constituyen el sujeto de nuestro discurso. Este conjunto se llama conjunto universal y se suele...