fundamentos

Ejercicios propuestos

2 CAPÍTULO DOS

2.1 Representación decimal
π + 4 es un número irracional.
1. El número
2π
a) Verdadero

b) Falso

2. Indique cuál de estos conjuntos no es vacío.
a)
b)
c)
d)
e)

{x/x ∈
{x/x ∈
{x/x ∈
{x/x ∈
{x/x ∈

∧ (3 < x < 4)}
∧ (x2 − 2 = 0)}
∧ (x + 1 ≥ 0)}
∧ (x2 + 1 < 0)}
∧ (x−1 − 2 = 0)}

3. Hallar el valor de las siguientes operaciones yexpréselo como un entero o
fracción simplificada:
a)

b)

(7 − 6.35) ÷ 6.5 + 9.9

5
1.2 ÷ 36 + 1.2 ÷ 0.25 − 1 16 ÷ 169
24
3(6 − 1.333...) + 6(1.333...) − 16.666...

54 + 1.666...
3
−
+
c)
9 + 2.666...
2
3
1+
1+
0.5
0.5
3

2

2.2 Operaciones binarias
4. ¿La adición de los números irracionales cumple la propiedad clausurativa?
Si no la cumple, construya uncontraejemplo.
5. El producto de los números irracionales cumple la propiedad clausurativa.
a) Verdadero
b) Falso
6. Dado el conjunto

S = {1, 2, 3, 4} y la operación binaria en S definida como:
a*b=

a;a≥ b
b;a< b

Indicar cuál de las siguientes proposiciones es verdadera:
a) La operación no es conmutativa.
b) La operación no es asociativa.
c) El elemento neutro es 1.
d) ∀ a , b ∈ S,(3 * a) =(b * 3)
e) (1 * 3) * 2 = (2 * 1) * (3 * 4)
pág. 225

7. Sea G = {a, b, c}, si sobre este conjunto se define la operación binaria que
se representa en la siguiente tabla.
∇

a
b
c

a
b
b
a

b
a
c
b

c
a
b
c

Identifique cuál de las siguientes proposiciones es falsa.
a) La operación binaria ∇ es conmutativa.
b) La operación binaria ∇ es asociativa.

G, ∀ x ∈ G: [x ∇ λ =x]
d) (a ∇ a) = [(b ∇ c) ∇ a]
e) [(a ∇ b) ∇ (a ∇ c)] = (c ∇ b)
c) ∃ λ ∈

8. Un sistema matemático (operación binaria) particularmente interesante
es el que llamamos aritmética modular. Un ejemplo es el conjunto de los
enteros módulo 4, los elementos de este conjunto son 4, a saber:

S = {0, 1, 2, 3}
En donde las operaciones quedan definidas de la siguiente manera:

∀ i, j, k ∈ S: i + j= k, donde k es el residuo de la división de i + j para 4.
∀ i, j, m ∈ S: i . j = m, donde m es el residuo de la división de i . j para 4.
Así:

2+3=1
2 . 3=2

ya que
ya que

2 + 3 = 5, que dividido por 4, da residuo 1.
2 . 3 = 6, que dividido por 4, da residuo 2.

Hallar el resultado de las siguientes operaciones para el módulo indicado.
a) Módulo

7

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}I) 4 + 5
II) 5 . 3
III) 2 . 4
IV) 5 . 6
V) 6 . 1
VI) 1 + 0
VII) 2 . 0
VIII) 5 + 3
IX) 4 . 5
X) 2 + 5
pág. 226

b) Módulo

6

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
I) 4 + 5
II) 5 . 3
III) 2 . 4
IV) 5 . 1
V) 0 . 1
VI) 1 . 0
VII) 2 . 0
VIII) 5 + 3
IX) 4 . 5
X) 2 + 5

2.3 Operaciones entre números reales
9. El valor de la expresión

15
2

a)

b)

10. ¿A qué es igual

2+

13+

2
15

1+

c)

1

es:

1

1+ 1
2
41
18

d)

18
41

e)

27
11

a . 0?; ¿por qué?

11. ¿Por qué es verdadera la igualdad

(a + b) . c = a . c + b . c?

12. ¿Es verdadera alguna de la siguientes propiedades distributivas de la
división sobre la adición? ¿Por qué?
a)
b)

a ÷ (b + c) = (a ÷ b) + (a ÷ c)
(a + b) ÷ c = (a ÷ c) + (b ÷ c)

13. Demostrar queentre los números reales hay un sólo cero; esto es, hay un
sólo número c, tal que:

∀ a ∈ (a + c) = a
2.4. Relación de orden
14. El valor de verdad de la proposición
a) Verdadero

√(1 − √3)2 ≠ √1 − √3

2

es:

b) Falso

15. Una de las siguientes proposiciones es falsa, identifíquela:
a)

8 < eπ < 81

b)

√3 + √2 >

c)

2√2 < √8
1
6
0.16666... =

d)
e)

5

1
√3− √2

5

√0.1 < √0.2
pág. 227

16. ¿Cuál es la lista donde los números aparecen ordenados de menor a
mayor?
a)
b)
c)
d)
e)

69
200
19
100
4
5
1
5
1
2

19
1
, 0.8 ,
100
5
1
69
,
,
, 0.8
5
200
19
1
69
,
,
,
100
5
200
69
19
, 0.8 ,
,
200
100
2
, 0.5 ,
4
,

17. Dos grupos de turistas tienen 60 personas cada uno. Si
y

3 del primer grupo...