FUNDAMENTOS

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE CIENCIAS
INGENIERÍA MATEMÁTICA
Nombre: Ajila Loayza Carlos Alberto
Profesor: Dr. Luis Horna

Asignatura: Fundamentos de la Matemática
Deber Nº 01

Ejercicios 1.1
1. Demostrar el siguiente teorema:
Para toda proposición ܲ, ܳ y ܴ, las siguientes son verdaderas:
݅) ܲ ∨ ܳ ⇔ ܳ ∨ ܲ
݅′) ܲ ∧ ܳ ⇔ ܳ ∧ ܲ
݅݅) ܲ ∨ ሺܳ ∨ ܴ) ⇔ ሺܲ ∨ ܳ) ∨ ܴ
݅݅′) ܲ ∧ ሺܳ ∧ ܴ) ⇔ ሺܲ ∧ ܳ) ∧ ܴ݅݅݅) ܲ ∧ ሺܳ ∨ ܴ) ⇔ ሺܲ ∧ ܳ) ∨ ሺܲ ∧ ܴ)
݅݅݅′) ܲ ∨ ሺܳ ∧ ܴ) ⇔ ሺܲ ∨ ܳ) ∧ ሺܲ ∨ ܴ)
݅‫ܲ ⇔ ܲ ∨ ܲ )ݒ‬
݅‫ݒ‬′) ܲ ∧ ܲ ⇔ ܲ

Previo a la demostración, la misma se basará en el siguiente resultado:
ܲ ܳ ܲ ⇒ ܳ ܳ ⇒ ܲ ሺܲ ⇒ ܳ) ∧ ሺܳ ⇒ ܲ)
1 1
1
1
1
1 0
0
1
0
0 1
1
0
0
0 0
1
1
1
ሺܲ
Es sabido que
⇒ ܳ) ∧ ሺܳ ⇒ ܲ) es ܲ ⇔ ܳ, por ende en esta tabla se nota que los valores de
verdad de la equivalencia son 1 cuando ܲ y ܳ tienen losmismos valores de verdad y 0 en caso
contrario.
Demostración de i) y i’):
ܲ ܳ ܲ∨ܳ ܳ∨ܲ ܲ∧ܳ
1 1
1
1
1
1 0
1
1
0
0 1
1
1
0
0 0
0
0
0

ܳ∧ܲ ܲ∨ܳ
1
0
0
0

⇔ ܳ∨ܲ ܲ∧ܳ
1
1
1
1

⇔ ܳ∧ܲ
1
1
1
1

Demostración de ii):
ܲ ܳ ܴ ܲ∨ܳ
1 1 1
1
1 1 0
1
1 0 1
1
1 0 0
1
0 1 1
1
0 1 0
1
0 0 1
0
0 0 0
0

ܳ∨ܴ
1
1
1
0
1
1
1
0

ܲ ∨ ሺܳ ∨ ܴ) ሺܲ ∨ ܳ) ∨ ܴ ܲ ∨ ሺܳ ∨ ܴ) ⇔ ሺܲ ∨ ܳ) ∨ ܴ
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1Demostración de ii’):
ܲ ܳ ܴ ܲ∧ܳ
1 1 1
1
1 1 0
1
1 0 1
0
1 0 0
0
0 1 1
0
0 1 0
0
0 0 1
0
0 0 0
0

ܳ∧ܴ
1
0
0
0
1
0
0
0

ܲ ∧ ሺܳ ∧ ܴ) ሺܲ ∧ ܳ) ∧ ܴ ܲ ∧ ሺܳ ∧ ܴ) ⇔ ሺܲ ∧ ܳ) ∧ ܴ
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1

ܲ

ܳ

ܴ

ܳ∨ܴ

ܲ∧ܳ

ܲ∧ܴ

ܲ ∧ ሺܳ ∨ ܴ)

ሺܲ ∧ ܳ) ∨ ሺܲ ∧ ܴ)

ܲ ∧ ሺܳ ∨ ܴ) ⇔ ሺܲ ∧ ܳ) ∨ ሺܲ ∧ ܴ)

ܲ

ܳ

ܴ

ܳ∧ܴ

ܲ∨ܳ

ܲ∨ܴ

ܲ ∨ ሺܳ ∧ ܴ)

ሺܲ ∨ ܳ) ∧ ሺܲ ∨ ܴ)

ܲ ∨ ሺܳ ∧ ܴ) ⇔ ሺܲ ∨ ܳ) ∧ ሺܲ ∨ ܴ)Demostración de iii):
1
1
1
1
0
0
0
0

1
1
0
0
1
1
0
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
1
1
0
1
1
1
0

1
1
0
0
0
0
0
0

Demostración de iii’):
1
1
1
1
0
0
0
0

1
1
0
0
1
1
0
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
0
0
1
0
0
0

1
1
1
1
1
1
0
0

Demostración de iv) y iv’):

ܲ

1
1
1
1
1
0
1
0

1
1
1
0
0
0
0
0

1
1
1
1
1
0
0
0

1
1
1
0
0
0
0
0

1
1
1
1
1
0
0
0

1
1
1
1
1
1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
1

ܲ ܲ∨ܲ ܲ∧ܲ ܲ∨ܲ ⇔ ܲ ܲ∧ܲ ⇔ ܲ
1
1
1
1
1
0
0
01
1

2. Demostrar que las siguientes proposiciones son verdaderas para toda ࡼ y ࡽ (Leyes de
De Morgan).
a) ¬ሺܲ ∨ ܳ) ⇔ ¬ܲ ∧ ¬ܳ
b) ¬ሺܲ ∧ ܳ) ⇔ ¬ܲ ∨ ¬ܳ

ܳ

¬ܲ

¬ܳ

Demostración:
1
1
0
0

1
0
1
0
0
0
0
0

1
0
1
0

0
0
1
1

0
1
0
1

ܲ∨ܳ

1
1
1
0

ܲ∧ܳ

1
0
0
0

¬ܲ ∧ ¬ܳ

0
0
0
1

¬ܲ ∨ ¬ܳ

0
1
1
1

¬ሺܲ ∨ ܳ)

0
0
0
1

¬ሺܲ ∧ ܳ)

0
1
1
1

Prop. a) Prop. b)
1
1
1
1
1
1
1
1

3. Demostrar que las siguientesproposiciones son verdaderas para cada proposición P.
a) ¬¬ܲ ⇒ ܲ
b) ܲ ⇒ ¬¬ܲ
Demostración:

ܲ ¬ܲ ¬¬ܲ ¬¬ܲ ⇒ ܲ ܲ ⇒ ¬¬ܲ
1 0
1
1
1
0 1
0
1
1

4. Demostrar que las siguientes proposiciones son verdaderas para toda ࡼ y ࡽ.
a) ሺܲ ⇒ ܳ) ⇔ ሺ¬ܳ ⇒ ¬ܲ)
b) ሺܲ ⇒ ܳ) ⇔ ሺ¬ܲ ∨ ܳ)
c) ሺܲ ⇒ ܳ) ⇔ ¬ሺܲ ∧ ¬ܳ)
d) [ܲ ∧ ሺܲ ⇒ ܳ)] ⇒ ܳ
e) [ሺܲ ∨ ܳ) ∧ ¬ܲ] ⇒ ܳ

Demostración de a):
ܲ
1
1
0
0

ܳ
1
0
1
0

¬ܲ ¬ܳ
0
0
0
1
1
0
1
1Demostración de b):

ܲ ܳ
1 1
1 0
0 1
0 0

Demostración de c):
ܲ ܳ
1 1
1 0
0 1
0 0

¬ܳ
0
1
0
1

Demostración de d):

ܲ
1
1
0
0

Demostración de e):

ܲ⇒ܳ
1
0
1
1

¬ܲ ܲ ⇒ ܳ
0
1
0
0
1
1
1
1
ܲ⇒ܳ
1
0
1
1

ܳ
1
0
1
0

ܲ ܳ
1 1
1 0
0 1
0 0

¬ܳ ⇒ ¬ܲ ሺܲ ⇒ ܳ) ⇔ ሺ¬ܳ ⇒ ¬ܲ)
1
1
0
1
1
1
1
1
¬ܲ ∨ ܳ
1
0
1
1

ሺܲ ⇒ ܳ) ⇔ ሺ¬ܲ ∨ ܳ)
1
1
1
1

ܲ ∧ ¬ܳ ¬ሺܲ ∧ ¬ܳ) ሺܲ ⇒ ܳ) ⇔ ¬ሺܲ ∧ ¬ܳ)
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
ܲ ∧ ሺܲ ⇒ ܳ) [ܲ ∧ ሺܲ
1
0
0
0ܲ⇒ܳ
1
0
1
1

¬ܲ ܲ ∨ ܳ
0
1
0
1
1
1
1
0

⇒ ܳ)] ⇒ ܳ
1
1
1
1

ሺܲ ∨ ܳ) ∧ ¬ܲ [ሺܲ ∨ ܳ) ∧ ¬ܲ] ⇒ ܳ
0
1
0
1
1
1
0
1

5. Demostrar que las siguientes proposiciones son verdaderas para todo ࡼ, ࡽ y ࡾ.
a) [ሺܲ ⇒ ܳ) ∧ ሺܳ ⇒ ܴ)] ⇒ ሺܲ ⇒ ܴ)
b) [ሺܲ ⇒ ܳ) ∧ ሺܴ ⇒ ܳ)] ⇔ [ሺܲ ∨ ܴ) ⇒ ܳ]
c) [ሺܲ ⇒ ܳ) ∧ ሺܲ ⇒ ܴ)] ⇔ [ܲ ⇒ ሺܳ ∧ ܴ)]

Demostración de a):
ܲ ܳ ܴ ܲ⇒ܳ ܳ⇒ܴ
1 1 1
1
1
1 1 0
1
0
1 0 1
0
1
1 0 0
0
1
1
1
0 1 1
1
0
0 1 0
1
1
0 0 1
0 00
1
1

ܲ⇒ܴ
1
0
1
0
1
1
1
1

ሺܲ ⇒ ܳ) ∧ ሺܳ ⇒ ܴ) [ሺܲ ⇒ ܳ) ∧ ሺܳ
1
0
0
0
1
0
1
1

⇒ ܴ)] ⇒ ሺܲ ⇒ ܴ)
1
1
1
1
1
1
1
1

ܲ

ܳ

ܴ

ܲ⇒ܳ

ܴ⇒ܳ

ܲ∨ܴ

ሺܲ ⇒ ܳ) ∧ ሺܴ ⇒ ܳ)

ሺܲ ∨ ܴ) ⇒ ܳ

[ሺܲ ⇒ ܳ) ∧ ሺܴ ⇒ ܳ)] ⇔ [ሺܲ ∨ ܴ) ⇒ ܳ]

ܲ

ܳ

ܴ

ܲ⇒ܳ

ܲ⇒ܴ

ܳ∧ܴ

ሺܲ ⇒ ܳ) ∧ ሺܲ ⇒ ܴ)

ܲ ⇒ ሺܳ ∧ ܴ)

[ሺܲ ⇒ ܳ) ∧ ሺܲ ⇒ ܴ)] ⇔ [ܲ ⇒ ሺܳ ∧ ܴ)]

Demostración de b):
1
1
1
1
0
0
0
0

1
1
0
0
1
1
0
0

1
0
1
0
1
0
1
0

1
1
0
0
1
1
1
1

1
1...