fundamentos

1.

Fundamentos

Al terminar esta sección se espera que el estudiante sea capaz de:
1) Reconocer y aplicar las propiedades de los números reales.
2) Representar el conjunto de los números reales en la recta numérica.
3) Escribir cualquier conjunto de los números reales, en forma de: intervalos,
analítica o descriptiva y gráficamente.
1.1 Números reales.

Los números reales
constituidos por:números naturales
están

números enteros
números racionales
números irracionales.

El conjunto de los números reales, las ecuaciones y el plano coordenado se utilizan
para resolver problemas de la vida real.
UMG – Facultad de Ingeniería, Matemática y Ciencias Físicas – Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez

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Los números reales están formados por:
Números naturales: 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏, 𝟏𝟐,𝟏𝟑, 𝟏𝟒, . . .
Números enteros:

−∞ . . . −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑 . . . ∞

Números racionales:
Ejemplos:
𝟐
𝒂) = 𝟎. 𝟒
𝟓

𝒃) −

𝒎
𝒓=
𝒏

formados mediante la división de dos enteros. n ≠ 𝟎.

𝟑
= −𝟎. 𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕
𝟕

𝒄)

𝟏
=
𝟎

la división entre el
número CERO, no está
definida.

Números irracionales: son los que no pueden ser expresados como un cociente de
enteros.
Ejemplos: 𝑎)

3

6 = 1.81712. . .

𝑏) 𝜋 =3.141593 . . .

𝑐) 27 = 5.19615 . . .

El conjunto de todos los números reales en una dimensión
se representa mediante el símbolo: ℝ
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Ejercicios para resolver en clase:
Con base en lo anteriormente visto, conteste las siguientes preguntas:
1) ¿Cuáles son los números racionales? Escriba dos ejemplos.2) ¿Cuál es el resultado de la división de dos enteros, si el denominador es cero?
Explique su respuesta.
3) ¿Cuál es el símbolo para representar a los números reales en una dimensión?
Propiedades de los números reales:

Propiedades conmutativas
de la suma:

𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

⇒

2 + 3 = 3 + 2

Cuando se suman dos números, no importa el orden.
de la multiplicación:

𝑎𝑏 = 𝑏𝑎

⇒

4(5) = 5(4)

Cuando semultiplican dos números, no importa el orden.
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Propiedades asociativas
de la suma: (𝒂 + 𝒃) + 𝒄 = 𝒂 + (𝒃 + 𝒄) ⇒ (𝟑 + 𝟐) + 𝟓 = 𝟑 + (𝟐 + 𝟓)
Cuando se suman tres números, no importa cuáles dos se suman primero.

de la multiplicación:

(𝒂𝒃)𝒄 = 𝒂(𝒃𝒄) ⇒ (𝟐 × 𝟒)𝟑 = 𝟐(𝟒 × 𝟑)

Cuando multiplicamos tresnúmeros, no importa cuáles
dos se multiplican primero.
Propiedad distributiva:
𝒂(𝒃 + 𝒄) = 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄

⇒

𝟑(𝟐 + 𝟓) = 𝟑(𝟐) + 𝟑(𝟓)

(𝒃 + 𝒄)𝒂 = 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄

⇒

(𝟐 + 𝟓)𝟑 = 𝟑(𝟐) + 𝟑(𝟓)

Cuando se multiplica un número por una suma de dos números se obtiene
el mismo resultado al multiplicar el número por cada uno de los términos y
luego sumar los resultados.
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Propiedades de los números negativos:
⇒

𝟏 𝟕 = −𝟕

𝟐) − −𝒂 = 𝒂

⇒

 ( 𝟒) = 𝟒

𝟑) −𝒂 𝒃 = 𝒂 −𝒃 = −(𝒂𝒃)

⇒

𝟒) −𝒂 −𝒃 = 𝒂𝒃

⇒

(𝟓)(−𝟕) = 𝟓(𝟕) = 𝟑𝟓

𝟓)  𝒂 + 𝒃 = −𝒂 − 𝒃

⇒

 𝟐 + 𝟑 = −𝟐 − 𝟑 = −𝟓

𝟔)  𝒂 − 𝒃 = 𝒃 − 𝒂

⇒

 𝟒 − 𝟐 = 𝟐 − 𝟒 = −𝟐

𝟏)

−𝟏 𝒂 = −𝒂

𝟖 𝟒 = 𝟒 − 𝟖 = − 𝟒 × 𝟖 = −𝟑𝟐

Ejercicios para resolver el clase: aplique las propiedades de los númerosnegativos
para resolver los siguientes incisos simplificando su respuesta final.
𝟏) − 𝒚(𝒙 + 𝟓)

𝟐) − (𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟒𝒛)

𝟑) 𝟓𝒙( 𝟐 + 𝒚)

𝟒) − 𝒚(−𝟔𝒙 + 𝟐𝒛)

𝟒
𝟓)
(−𝟔𝒘)
𝟑

𝟓
𝟔) − (−𝟒𝒕 − 𝟖𝒘)
𝟐

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Propiedades de las fracciones
𝒂 𝒄
𝒂𝒄
𝟏)
=
𝒃 𝒅
𝒃𝒅

⇒

𝟒 𝟐
𝟒(𝟐)
𝟖
=
=
𝟑 𝟓
𝟑(𝟓)
𝟏𝟓

Cuando se multiplican fracciones,se multiplican los numeradores y los denominadores.
𝟐)

𝒂 𝒄
𝒂 𝒅
𝒂𝒅
÷ =
=
𝒃 𝒅
𝒃 𝒄
𝒃𝒄

⇒

𝟒 𝟐
𝟒 𝟑
𝟒(𝟑)
𝟏𝟐
𝟔
÷ =
=
=
=
𝟓 𝟑
𝟓 𝟐
𝟓(𝟐)
𝟏𝟎
𝟓

Cuando se dividen fracciones, se invierte el divisor y luego se multiplica.
𝟑)

𝒂 𝒃
𝒂+𝒃
+
=
𝒄
𝒄
𝒄

⇒

𝟏 𝟒
𝟏+𝟒
𝟓
+
=
=
𝟑 𝟑
𝟑
𝟑

Cuando se suman fracciones con el mismo denominador se suman los numeradores, y el
denominador sólo se copia.
𝟒)

𝒂
𝒄
𝒂𝒅 + 𝒃𝒄
+
=
𝒃
𝒅...