funsiones

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.
FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS.

Función exponencial
La función exponencial es de la forma f ( x ) = a x , tal que a > 0 , a ≠ 1
El valor a se llama base de la función exponencial.

Propiedades:
• El dominio es R.
• El recorrido es ]0,+∞ ]
• La función es continua en R.
• f (0 ) = 1
• Si f ( x ) = f ( y ) , entonces x = y ,
•
•

y =1'5 x

es decir, si a x = a y , entonces x = y
f ( x) ⋅ f ( y) = f (x + y)
Si a > 1 la función es creciente

Si 0 < a < 1 la función es decreciente

y = 2x

y = 0 .4 x

x

•

⎛ 1⎞
Las gráficas de las funciones f ( x ) = a x , g( x ) = ⎜ ⎟ son simétricas respecto del eje de
⎝a⎠
ordenadas OY
y = 0 .5 x
y = 2x

Ejercicio 1:
Estudia y representa la función f ( x ) = 4 x .
Esuna función exponencial de base a = 4
El dominio es R
El recorrido es ]0,+∞ ]
Es una función creciente.
La función es continua en R

Construimos una tabla de valores de la función:
x
−2,5
−2 −1,5
−1 −0,5
y 0,03125 0,0625 0,125 0,25 0,5

0 0,5
1
2

1
4

1,5 2 2,5
8 16 32

Ejercicio 2:
Resuelve la ecuación exponencial: 3 x −1 = 729
Intentaremos que las dos partes de laecuación sean dos potencias de la misma base:
729 = 3 6
3 x −1 = 3 6
Igualando los exponentes:
x −1= 6
La solución de la ecuación es x = 7
Nota: para resolver ecuaciones donde no podamos obtener a las dos partes de la igualdad
potencias de la misma base, se aplicarán logaritmos. Por ejemplo 2 x = 3
Ejercicio 3:
Resuelve la ecuación exponencial: 3 2 x − 3 x +1 − 3 x = 45
Para resolver este tipode ecuaciones utilizaremos incógnitas auxiliares:
Efectuamos el cambio y = 3 x

( )

2

3 x +1 = 3 x ⋅ 3 = 3 y
Entonces: 3 2 x = 3 x = y 2 ,
La ecuación inicial se transformaría en la siguiente:
y 2 − 3 y − y = 45
Resolvamos la ecuación de segundo grado:
4 ± 16 + 180 4 ± 196 4 ± 14
y=
=
=
,
y 2 − 4 y − 45 = 0 ,
2
2
2
Deshacemos el cambio:
y = 3 x = 9 , entonces 3 x = 3 2 ,igualando exponentes, x = 2

y = 9,

y = −5

y = 3 x = −5 , la ecuación 3 x = −5 no tiene solución, la función exponencial siempre es positiva.

Ejercicios propuestos:

1. Con la ayuda de la calculadora, efectúa las siguientes operaciones:
a) 21/ 3 =
d) 2 −2'7 =
b) 2 −2 / 5 =
e) 2 3 =
c) 21'3 =
f) 2 − 5 =

g) 2 π =
h) 2 − π =
i) 2 2+ 2 =

ex
2. La calculadora tiene dosfunciones exponenciales 10 x
Con la ayuda de la calculadora, efectúa las siguientes operaciones:
a) 101'3 =
e) 10 10 =
b) 10 −3'6 =
f) 10 − 3 =
c) 10 5 / 4 =
g) e 2'3 =
d) 10 −7 / 3 =
h) e −1'6 =

i)
j)

3. Estudia y representa las siguientes funciones:
a) f ( x ) = 2 x

k) e
l)

⎛ 1⎞
p( x ) = ⎜ ⎟
⎝3⎠

x

x

⎛2⎞
g) q( x ) = ⎜ ⎟
⎝3⎠

x

d) m( x ) = 2'5 x

⎛2⎞
h) r( x) = ⎜ ⎟
⎝5⎠

b) g( x ) = 3 x
⎛3⎞
c) h( x ) = ⎜ ⎟
⎝2⎠
⎛ 1⎞
e) n( x ) = ⎜ ⎟
⎝2⎠

x

4. Estudia y representa las siguientes funciones:
a) f ( x ) = 10 x

f)

e3 / 4 =
e −5 / 3 =
e

2
− 5

=
=

x

e) n( x ) = −3 ⋅ 10 x

b) g( x ) = e x

f)

p( x ) = −5 ⋅ e x

c) h( x ) = 2 ⋅ 10 x

g) q( x ) = 0'1x

d) m( x ) = 5 ⋅ e x

h) r( x ) = 100 x

5. La mayoría delas bacterias se reproducen por bipartición, es decir, una célula madre se divide
en dos células hijas. Supongamos que un tipo de bacterias necesita 1 hora para duplicarse.
Completa la tabla siguiente. Define la función y represéntala gráficamente.
x(horas)
0
1
2
3
4
5
6
x
Y(bacterias)

6. La presión atmosférica varia según la altura con la siguiente fórmula P( x ) = 0'9 x , donde xes la
altura en kilómetros y P(x) la presión atmosférica en atmósferas.
Representa la función.

7. Dada la función f ( x ) = 2 x
Sin utilizar tablas de valores dibuja
las funciones:
g( x ) = 2 x + 3
h( x ) = 2 x − 4
m( x ) = 2 x + 2
n( x ) = 2 x −1

x

⎛ 1⎞
8. Dada la función f ( x ) = ⎜ ⎟
⎝3⎠
Sin utilizar tablas de valores dibuja
las funciones:
x

⎛ 1⎞
g( x ) = ⎜ ⎟ + 4...