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AϪ1(AX) ϭ AϪ1 B.
Usando la propiedad asociativa y simplificando, podemos escribir esto de la manera siguiente:
(AϪ1A)X ϭ AϪ1 B
IX ϭ AϪ1 B
X ϭ AϪ1 B
Así, hemos obtenido una expresión queproporciona la solución X del sistema de
ecuaciones dado.
EJEMPLO 5 Resuelva el sistema de ecuaciones lineales siguiente:
x ϩ 2y ϩ 3z ϭ 3
2x ϩ 5y ϩ 7z ϭ 6
3x ϩ 7y ϩ 8z ϭ 5
Solución El sistema deecuaciones considerado en forma matricial es
AX ϭ B

(4)

en donde
Aϭ

΄

1
2
3

2
5
7

΅

3
7 ,
8

Xϭ

΄΅
x
y
z

Bϭ

y

΄΅
3
6
5

Así que AϪ1 está dada por
AϪ1 ϭ ᎏ1ᎏ2

΄

Ϫ9 Ϫ5 Ϫ1
Ϫ5 Ϫ1 Ϫ1
Ϫ1 Ϫ1 Ϫ1

΅

Se sigue que la solución de la ecuación (4) está dada por
X ϭ AϪ1B ϭ ᎏ1ᎏ
2

΄

ϭ ᎏ1ᎏ
2
Esto es,

Ϫ9 Ϫ5 Ϫ1
Ϫ5 Ϫ1 Ϫ1
Ϫ1 Ϫ1 Ϫ1

΅΄ ΅

Ϫ27Ϫ 30 ϩ 5
Ϫ15 ϩ 6 ϩ 5
Ϫ 3ϩ 6Ϫ5

΄

΅ ΄ ΅ ΄ ΅

΄΅ ΄ ΅
x
y
z

ϭ

Por consiguiente x ϭ 1, y ϭ Ϫ2 y z ϭ 2

1
Ϫ2
2

3
6
5

ϭ ᎏ1ᎏ
2

2
Ϫ4
4

ϭ

1
Ϫ2
2

A primera vista,parecería que este método de resolver un sistema de ecuaciones
es mucho menos conveniente que el método más simple de reducción de renglones
descrito anteriormente. La ventaja de usar la matrizinversa se hace patente en
casos en que deben resolverse varios sistemas de ecuaciones con la misma matriz de
coeficientes. En problemas de ese tipo, las soluciones de todos los sistemas puedendeterminarse de inmediato una vez que se ha encontrado la inversa de la matriz de
coeficientes; no es necesario usar la reducción de renglones una y otra vez sobre cada sistema.
EJEMPLO 6 Determine lasolución del sistema AX ϭ B, en donde
Aϭ

΄

΅

1 Ϫ1 Ϫ3
2 Ϫ0 Ϫ1 ,
4 Ϫ3 Ϫ2

Xϭ

΄΅

x
y ,
z

Bϭ

΄΅
a
b
c

y a, b y c son números reales arbitrarios.
Solución Dejamos para usted,como ejercicio, calcular la inversa de la matriz. El
resultado es
1
AϪ1 ϭ ᎏᎏ
7

΄

Ϫ3 Ϫ17 Ϫ1
Ϫ8 Ϫ14 Ϫ5
Ϫ6 1Ϫ7 Ϫ2

΅

Entonces la solución del sistema AX ϭ B es
1
X ϭ AϪ1B ϭ ᎏᎏ
7...