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Método para calcular integrales por la regla del trapecio

Algoritmos y programación

ing. Mecatronica













INTRODUCCION

En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de integrar una función con algunas de las siguientes características.

–una función complicada o imposible de integrar directamente
–una función tabulada en donde los valores de X y f(X)se dan en un conjunto de puntos directos, como es el caso a menudo, de datos experimentales.

En estos dos casos se deben emplear métodos aproximados. Las formulas de newton-cortes son los esquemas mas comunes dentro de la integración numérica, se basan en la estrategia de remplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulados con alguna función aproximada que sea mas fácil deintegrar. La integral se puede aproximar usando un conjunto de polinomios aplicados por partes o a los datos sobre intervalos de longitud constante.

REGLA DEL TRAPECIO SIMPLE Y COMPUESTA

la regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida

La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) porel de la función lineal que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal. Se sigue que

y donde el término error corresponde a:

Siendo un número perteneciente al intervalo [a,b].

La regla del trapecio compuesta
La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar unaintegral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos, cada uno de ancho .
Después de realizar todo el proceso matemático sellega a la siguiente fórmula:

Donde y n es el número de divisiones.
La expresión anterior también se puede escribir como:

El error en esta aproximación se corresponde con :

Siendo n el número de subintervalos
Ejemplo

Primero se obtiene h, de los límites de la integral que representan a y b y para n=6 queda: .
Y ahora se sustituye en la fórmula
=
y queda:
=

En este caso no secomete ningún error en el cálculo (el resultado es exacto) porque la función sujeta a integración es lineal.
















PROGRAMA EN GAMBAS LINEAS DE CODIGO

' metodo del trapecio para calcular integrales
Public Sub Main()
Dim op, s, x As Integer  'declaracion de variables
Dim res, sup, inf, o, iteracion As Float
While op < 6 'incia el conteo para entrar en  el menu
op= menu()  ' recibe la opcion elejida desde la funcion menu
If op = 1 Then 'si la opcion es 1 entra a la  solucion de la ecuacion matematica
Print "funcion 1"
Print "da los intervalos y las interaciones"
Print "da las iteraciones"
Input iteracion
Print "superior"
Input sup
Print "inferior"
Input inf
funcion1(sup, inf, Iteracion) 'llama la funcion  1
End If
If op = 2 Then
Print"funcion 2"
Print "da los intervalos y las interaciones"
Print "da las iteraciones"
Input iteracion
Print "superior"
Input sup
Print "inferior"
Input inf
funcion2(sup, inf, Iteracion)
End If
If op = 3 Then
Print "funcion 3"
Print "da los intervalos y las interaciones"
Print "da las iteraciones"
Input iteracion
Print "superior"
Input sup
Print "inferior"
Input inf
funcion3(sup, inf,Iteracion)
End If
If op = 4 Then
Print "funcion 4"
Print "da los intervalos y las interaciones"
Print "da las iteraciones"
Input iteracion
Print "superior"
Input sup
Print "inferior"
Input inf
funcion4(sup, inf, Iteracion)
End If
If op = 5 Then
Print "funcion 5"
Print "da los intervalos y las interaciones"
Print "da las iteraciones"
Input iteracion
Print "superior"
Input sup...