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Ejemplo 3.1
Calcular fx y fy para la función
Solución
Considerando y constante y derivando con respecto a x, resulta

Considerando x constante y derivando con respecto a y, resulta

Existennotaciones diferentes para las derivadas parciales primeras. A continuación damos una lista de las más comunes:
Si z=f(x,y), las derivadas parciales primeras fx y fy se denotan |
Ejemplo 3.2
Parala función encontrar fx y fy y evaluar cada una de ellas en el punto (1, ln2)
Solución
Como la derivada parcial de f con respecto a x en (1, ln2) es

Como la derivada parcial de f con respecto a yen (1, ln2) es

Las derivadas parciales de una función de dos variables, z=f(x,y), tienen una interpretación geométrica útil. Si y=c, entonces z=f(x,c) representa la curva formada por laintersección de la superficie z=f(x,y) con el plano y=c, como muestra la figura 3.1. Por lo tanto,

figura 3.1
representa la pendiente de esta curva en el plano y=c (observar que tanto la curva como latangente pertenecen al plano y=c).
De forma similar,

representa la pendiente de la curva obtenida por la intersección de z=f(x,y) y el plano x=c como se observa en la figura 3.2.

figura 3.2
Se diceque los valores de fx y fy en el punto (x0,y0,z0) denotan la pendiente de la superficie en las direcciones x e y respectivamente. |
Ejemplo 3.3
Encontrar la pendiente de la superficie dada por en elpunto (1/2,1,2) en las direcciones x e y.
Solución
En la dirección x, la pendiente viene dada por
(ver figura 3.3)
En la dirección y, la pendiente viene dada por
(ver figura 3.4)Independientemente de cuántas variables estén involucradas, las derivadas parciales pueden interpretarse como razones de cambio.
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figura 3.3 | figura 3.4 |
Derivadas parciales de orden superior
Lo mismoque sucede con las derivadas ordinarias, es posible encontrar derivadas parciales de una función de varias variables de órdenes segundo, tercero y superiores, supuesto que tales derivadas existen....