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PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011

MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES • Junio, Ejercicio 1, Opción A • Junio, Ejercicio 1, Opción B • Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A • Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B • Reserva 2, Ejercicio 1, Opción A • Reserva 2, Ejercicio 1, Opción B • Reserva 3, Ejercicio 1, Opción A • Reserva 3, Ejercicio 1, Opción B • Reserva 4, Ejercicio 1, Opción A •Reserva 4, Ejercicio 1, Opción B • Septiembre, Ejercicio 1, Opción A • Septiembre, Ejercicio 1, Opción B

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Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total a 54 m 2 . Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que éste tenga volumen máximo. MATEMÁTICAS II. 2011. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N

a) Función quequeremos que sea máximo es: V = π r 2 h 54 − 2π r 2 27 − π r 2 = 2π r πr c) Expresamos la función que queremos que sea máximo con una sola variable. b) Relación entre las variables: 54 = 2π r 2 + 2π r h ⇒ h = V = π r 2h = π r 2 ⋅ d) Derivamos e igualamos a cero
V ' = 27 − 3 π r 2 = 0 ⇒ r = ± 27 = ±1'69 m 3π

27 − π r 2 = 27 r − π r 3 πr

Solo vale la solución positiva ya que estamos calculandodimensiones, luego:

r =1'69 m ; h = 3'39 m

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Sea f : [1, + ∞ ) →

la función definida por f ( x ) =

x − 1 . Determina el punto P de la gráfica

de f que se encuentra a menor distancia del punto A(2, 0) .¿Cuál es esa distancia?. MATEMÁTICAS II. 2011. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B

R E S O L U C I Ó N
x − 1) .

Función que queremos que sea mínimo: Ladistancia entre los puntos (2, 0) y ( x, d = ( x − 2) 2 + ( x − 1 − 0) 2 = x 2 − 3x + 3 Derivamos e igualamos a cero
d'=
⎛3 2⎞ Luego el punto es: P = ⎜ , . ⎜2 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ La distancia mínima es: d = 3 9 9 − +3 = u 4 2 2

2x − 3 2 x 2 − 3x + 3

=0⇒ x =

3 2

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Un alambre de longitud 100 metros se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se construye uncuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que su altura. Calcula las longitudes de cada uno de los trozos con la condición de que la suma de las áreas de estas dos figuras sea mínima. MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N

a) Función que queremos que sea mínima: S min

⎛ x⎞ = ⎜ ⎟ + 2y 2 ⎝4⎠
100 − x 6

2

b) Relación entre las variables:100 − x = 2 y + 2 y + y + y = 6 y ⇒ y =

c) Expresamos la función que queremos que sea mínima con una sola variable.
S min
2 ⎛ x⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 100 − x ⎞ 17 x − 1600 x + 80000 2 = ⎜ ⎟ + 2y = ⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟ = 144 ⎝4⎠ ⎝4⎠ ⎝ 6 ⎠ 2 2 2

d) Derivamos e igualamos a cero

S'=

34 x − 1600 800 =0⇒ x= 144 17

e) Comprobamos que corresponde a un mínimo S '' = 34 > 0 ⇒ mínimo 144

Luego, las dimensionesson: x =

800 900 m ; 100 − x = m 17 17

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Sea f : → la función definida por f ( x ) = 4 − x 2 a) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 . b) Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta x + 2y − 2 = 0. MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B

R E S O L U CI Ó N a) La ecuación de la recta normal en el punto de abscisa x = 2 es: y − f (2) = − Calculamos: f (2) = 4 − 2 2 = 0 1 ( x − 2) f '(2)

f '( x) = − 2 x ⇒ f '(2) = − 4
Sustituyendo, tenemos: y − f (2) = − 1 1 ( x − 2) ⇒ y − 0 = − ( x − 2) ⇒ x − 4 y − 2 = 0 −4 f '(2) −x+2 1 ⇒ m = − . La recta 2 2

a) La pendiente de la recta que nos dan es: x + 2 y − 2 = 0 ⇒ y = perpendicular tendrá dependiente m = 2 .

f '( x) = − 2 x = 2 ⇒ x = − 1 ; f (−1) = 4 − (−1) 2 = 3
Luego, el punto que nos piden es: (−1,3)

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Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo.

De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco de la de área máxima. MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN A....