Física General Burbano Ejercicios Resueltos Cinemática

MECÁNICA

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA. MAGNITUDES FUNDAMENTALES. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
A) MAGNITUDES FUNDAMENTALES FORMULARIO Ecuación vectorial horaria (radio vector o vector de posición): r = x (t) i + y (t) j + z (t) k Ecuaciones analíticas de la trayectoria y ley horaria:
f1 ( x , y, z ) = 0 f2 ( x , y, z ) = 0 s = s (t )

CAPÍTULO III

Velocidad media y vector velocidad media:
v= DvDt v= Dr Dt
dr dr = |dr| ds
Vector desplazamiento. Vector velocidad media.

Vector velocidad:
v= dr . . = r = v x (t ) i + v y (t ) j + v z (t ) k = st dt

t =

t : es el vector unitario tangente a la trayectoria y es una función del tiempo.

z z
r2 r1

dr = v (t) dt
t1

t2

Vector aceleración media: Vector aceleración:

a=

Dv Dt

d 2r dv .. . a = r = v = a x (t ) i + a y(t ) j + a z (t ) k = 2 = dt dt

z z
v2 v1

dv = a (t ) dt
t1

t2

v y a pertenecen al mismo plano (plano osculador).
fi fi

Problema III-1. La ecuación vectorial horaria de una partícula que se mueve en un plano, viene dada en el SI por la expresión: r = (2t 2 – 1) i + (t 3 + 1) j. Calcular: 1. El vector de posición inicial. 2. La distancia al observador (distancia al origen delsistema de referencia) a los 5 s de haber empezado a contar el tiempo. 3. Espacio recorrido por la partícula en el tercer segundo. Solución
1) t = 0 r0 = - i + j m P0 (-1, 1) m

2) t = 5 s

r5 = 49i + 126j m

d = r = 492 + 1262 = 1352 m ,

. 3) r = 4t i + 3t 2 j

ds . . |r| = s = t 16 + 9t 2 = dt

s=

z

3

t 16 + 9t 2 dt =

2

1 (16 + 9t 2 )3/ 2 27

3 2

= 215 m ,Problema III-2. La ecuación vectorial horaria del movimiento de una partícula escrita en el SI es: r = (3 – 6t 2 – 3t 3) i + (5 + 4t 2 + 2t 3) j + (2 + 2t 2 + t 3) k. Determinar la ecuación analítica de su trayectoria y su ley horaria.

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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA. MAGNITUDES FUNDAMENTALES. MOVIMIENTO RECTILÍNEO

Solución
x = 3 - 6t 2 - 3t 3 y = 5 + 4t + 2t
2 3

x - 3 = - 3 (2t 2 + t 3 ) y- 5 = 2 (2t 2 + t 3 ) z - 2 = 2t 2 + t 3

z = 2 + 2t 2 + t 3

x -3 y -5 z -2 = = -3 2 1

La ecuación analítica de la trayectoria es una recta cuyos parámetros directores son proporcionales a –3, 2, 1. 1er
MÉTODO:

Para t = 0
y =z =-

r0 = 3i + 5j + 2k, y como:
y ¢= z ¢= dy 2 =dx 3 dz 1 =dx 3

2 ( x - 3) + 5 3 1 ( x - 3) + 2 3

s=

z

x

–

3

14 14 dx = – ( x - 3) 9 3sustituyendo x = x (t), obtenemos: 2º
MÉTODO:

s (t ) = m 14 (2t 2 + t 3 )

SI

v=

dr = - 3 (4t + 3t 2 ) i + 2 (4t + 3t 2 ) j + (4t + 3t 2 ) k dt

s=

z

ds . . v =|r| = s = – 14 (4t + 3t 2 ) = dt

t

– 14 (4t + 3t 2 ) dt = – 14 (2t 2 + t 3 )

SI

0

Problema III-3. La ecuación vectorial horaria del movimiento de una partícula que se mueve en un plano OXY, viene dada enel SI: r = = (2t + 1) i + 2 (2t + 1)3/2/3 j. Determinar la ecuación analítica [y = f (x)] y su ley horaria [s = s (t)] y representarlas. Solución
La ecuación analítica de su trayectoria [escrita en forma implícita y = f (x)] la obtenemos:
x = 2t + 1 y= 2 (2t + 1)3/ 2 3 y= 2 3/ 2 x 3 (Gráfica 1ª )

SI

Problema III-3-1ª.– Trayectoria.

La obtención de su ley horaria se puede hacerutilizando dos procedimientos: 1er
MÉTODO:

En nuestro caso: si t = 0
s (t ) =
x

s ( x) =

z

z z
s s0

x0 = 1 m, obteniéndose:
x 2 1 + y ¢ dx

ds =

x0

y ¢=

dy = x dx

1 + x dx =

1

LM 2 (1 + x) OP N3 Q
3/ 2

x

=
1

2 (1 + x)3/ 2 - 2 2 3
SI

x = 2t + 1

s (t ) =

4 2 2 (2t + 2)3/ 2 - 2 2 = (t + 1)3/ 2 - 1 3 3

(Gráfica 2ª )

En la que para t = 0Problema III-3-2ª.– Ley horaria. 2º
MÉTODO:

s0 = 0.
. ds = 2 2 t +1 v =s = dt

v=

dr . = r = 2i + 2 2t + 1 j dt

s (t) =

z

t

2 2 t + 1 dt =

0

4 2 (t + 1)3/ 2 - 1 3

SI

Problema III-4. La ley horaria de un punto móvil está dada en el SI por la expresión: s = t 2 + t + 1. Calcular: 1. Posición inicial del móvil. 2. Velocidad media en el intervalo comprendido entre tres y...