Física

Soluci´n de ecuaciones lineales o

12 de febrero de 2009
Tenemos dos ecuaciones lineales, de las que queremos conocer los valores de x y y donde se intersectan, este sistema es 4x + y + 1 = 0 3x + 2y = 3 (1) (2)

Vamos a resolverlo por el m´todo de igualaci´n y por el de determinantes. Hagamos primero e o el m´todo de igualaci´n. e o

1.

M´todo de igualaci´n. e o

1. El primer paso esdespejar la misma variable en ambas ecuaciones, puede ser tanto la variable x como la y, es nuestra elecci´n. Por ejemplo tomemos la variable y. Para la o ecuaci´n (1) o 4x + y + 1 = 0 (3) debemos sumar en ambos lados de la ecuaci´n la cantidad −4x − 1 as´ o ı 4x + y + 1 + (−4x − 1) = 0 + (−4x − 1) y asociamos los t´rminos iguales e y + (4x − 4x) + (1 − 1) = −4x − 1 como 4x − 4x = 0 y 1 − 1 = 0entonces y = −4x − 1 (6) (5) (4)

y ya hemos dejado solita a nuestra variable y. Ahora hacemos lo mismo para la ecuaci´n o (2) 3x + 2y = 3 (7) primero vemos que hay un 3x sumando en el lado donde se encuentra la variable y, por lo tanto, restamos 3x en ambos lados de la ecuaci´n o 3x − 3x + 2y = 3 − 3x (8)

1

lo que es lo mismo a 2y = 3 − 3x (9) y esta multiplicada por 2, as´ quemultiplicamos por su inverso para dejar solita a nuestra ı variable 1 1 × 2y = × (3 − 3x) (10) 2 2 y como 2 × (1/2) = 1 tenemos que y= 3 − 3x 2 (11)

y tenemos nuestro nuevo sistema de ecuaciones

y = −1 − 4x 3 − 3x y = . 2 2. Ahora igualamos estas ecuaciones −1 − 4x = 3 − 3x 2

(12) (13)

(14)

Lo que debemos hacer ahora es despejar la unica inc´gnita que nos quedo, o sea la x. ´ o Lo primero quehacemos es multiplicar ambos lados de la ecuaci´n por 2 o 2 × (−1 − 4x) = 2 × ( 2 × (−1) + 2 × (−4x) = 3 − 3x ) 2 (15) (16) (17)

2 (3 − 3x) 2 −2 − 8x = 3 − 3x

sumando 3x en cada lado de la ecuaci´n o −2 − 8x + 3x = 3 − 3x + 3x como 3x − 3x = 0 esto es igual a −2 − 5x = 3 y sumamos 2 en cada lado de la ecuaci´n o −2 − 5x + 2 = 3 + 2 asociando 2 − 2 = 0, finalmente nos queda −5x = 5 (21) (20)(19) (18)

2

dado que a x lo multiplica −5, multiplicamos ambos lados por su inverso, o sea −1/5 1 × (−5x) −5 −5x −5 −5 x −5 x 1 × (5) −5 5 = −5 = = −1 = −1 (22) (23) (24) (25)

por lo que finalmente encontramos el valor de x = 1. 3. Con este valor podemos encontrar el valor de y. Podemos sustituir x = −1 en cualquiera de las ecuaciones (6) o (11) y el resultado ser´ el mismo. Hagamos estopara las dos a ecuaciones. Para la primer ecuaci´n (recordemos que cuando se multiplican dos n´ meros o u negativos el resultado es un n´ mero positivo, por ejemplo (−3) × (−2) = 6). u y = −4x − 1 = −4(−1) − 1 = 4 − 1 = 3 y en la segunda ecuaci´n o y= 3 − 3(−1) 3+3 6 3 − 3x = = = =3 2 2 2 2 (27) (26)

El resultado para este sistema de ecuaciones lineales es el punto (-1,3) en el plano (x, y).2.

M´todo de determinantes e
Tenemos el sistema de ecuaciones lineales 4x + y + 1 = 0 3x + 2y = 3 (28)

1. Primero dejemos las ecuaciones en la forma tradicional, esto es, primero tenemos las variables de x, despu´s de y y despu´s del signo igual el t´rmino independiente. Como e e e vemos la segunda ecuaci´n ya tiene esta forma, as´ que no hay necesidad de hacer nada o ı con ella. Para laprimer ecuaci´n restemos un 1 a cada lado, por lo que nos queda o (4x + y + 1) − 1 = 0 − 1 4x + y + (1 − 1) = −1 4x + y = −1 as´ que nuestro sistema de ecuaciones nos queda como ı 4x + y = −1 3x + 2y = 3 (32) (29) (30) (31)

3

2. Ahora nos fijamos quienes son los coeficientes a1 , a2 , b1 , b2 , c1 y c2 . Los podemos leer de la expresi´n o a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 comparando cada unode los t´rminos, encontramos que e a1 = 4 b1 = 1 a2 = 3 b2 = 2 = c1 = −1 c2 = 3 (34) (33)

3. Ahora vamos a encontrar los determinantes. El determinante de la ecuaci´n se forma o con los coeficientes de las variables x y y, de tal forma que ∆= 4 1 3 2 (35)

como sabemos se multiplica de forma cruzada ∆= 4 1 3 2 = 4(2) − 1(3) = 8 − 3 = 5 (36)

as´ que ∆ = 5. Para el determinante de x, o sea...