Física

1 Fórmula de Taylor y aplicaciones

1.

1

Fórmula de Taylor y aplicaciones

Denición 1.1. Sea I ⊂ R un intervalo, a ∈ I y f : I → R.
1. Si f es derivable en un entorno de a y f también es derivable en a se dice que f es dos
veces derivable en a y la derivada de f en a se denota con f (a) o bien f (2) (a) y se llama
la derivada segunda de f en a. Si f es derivable dos veces en todopunto de I se dice que
f es derivable dos veces en I .
2. Por inducción, se dice que f es n veces derivable en a si f es (n − 1) veces derivable en
un entorno de a y la derivada (n − 1)-ésima, f (n−1) , es derivable en a, en cuyo caso se
denota la derivada con f (n) (a) := (f (n−1) ) (a). Si f es n veces derivable en cada punto de
I se dice que f es derivable n veces en I .
3. Se dice que f esde clase C n en I si f es derivable n veces en I y la derivada n-ésima de
f es continua en todo punto de I . Se dice que f es de clase C ∞ en I si es de clase C n para
todo n.
P (x) = an xn +an−1 xn−1 +· · ·+a0 son funciones de clase C ∞ en R y conociendo
valor de P y sus derivadas en un punto x0 es posible reconstruir el polinomio.
n
En efecto, basta observar que dividiendo P (x) por (x −x0 ) se puede escribir
Los polinomios

el

P (x) = bn (x − x0 )n + Qn−1 (x)
donde

bn

es constante y

Qn−1 (x)

es un polinomio de grado

n − 1.

Procediendo por inducción se

obtiene:

P (x) = bn (x − x0 )n + bn−1 (x − x0 )n−1 + · · · + b0 .
Pero entonces

b0 = P (x0 )

y derivando sucesivamente se obtiene que

P (k) (x0 )
,
bk =
n!

para

k = 0, 1, ...ncon lo que

P (x) = P (x0 ) +

P (x0 )
P (n) (x0 )
(x − x0 ) + · · · +
(x − x0 )n .
1!
n!

Luis Oncina Deltell. Departamento de Matemáticas. UMU. luis@um.es

1 Fórmula de Taylor y aplicaciones

Vamos a usar Maxima para desarrollar el polinomio
7 ∗ x2 + x − 3 alrededor del punto x = 1.

(%i1)

2

P (x) = 5 ∗ x4 + 3 ∗ x3 −

/* Definimos el polinomio a desarrollar */P(x):=5*x^4+3*x^3-7*x^2+x-3;

( %o1)

(%i2)

P (x) := 5 x4 + 3 x3 + (−7) x2 + x − 3

/* Calculamos ahora las derivadas sucesivas del polinomio */
D[k,x]:=diff(P(x),x,k)$
makelist(D[k,x],k,1,4);

( %o3)

(%i4)

[20 x3 + 9 x2 − 14 x + 1, 60 x2 + 18 x − 14, 120 x + 18, 120]

/* Calculamos los coeficientes del polinomio alrededor de x=1 */
b[0]:P(1)$
b[k]:=ev(D[k,x],x=1)/k!$

(%i6)

/*Escribimos el polinomio alrededor de x=1 */
S(x):=sum(b[k]*(x-1)^k,k,0,4)$
S(x);

( %o7)

(%i8)

16 (x − 1) + 5 (x − 1)4 + 23 (x − 1)3 + 32 (x − 1)2 − 1

/* Finalmente comprobamos que este polinomio coincide con P(x) */
expand(S(x));

( %o8)

5 x4 + 3 x3 − 7 x2 + x − 3

Luis Oncina Deltell. Departamento de Matemáticas. UMU. luis@um.es

1 Fórmula de Taylor y aplicaciones

Enel caso de funciones

f

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varias veces derivables puede construirse la expresión que gura en

P . Tal expresión es un polinomio
polinomio de Taylor de grado n de f en x0 .

el segundo miembro de la identidad anterior, con
de grado

n

que recibe el nombre de

f

en lugar de

Denición 1.2. Sea n ∈ N. Si f : I → R es una función n veces derivable en el punto x0 delintervalo abierto I , se llama polinomio de Taylor de grado n de f en x0 al siguiente polinomio
Pn (f, x; x0 ) = f (x0 ) +

f (x0 )
f (n) (x0 )
(x − x0 ) + · · · +
(x − x0 )n .
1!
n!

En lo sucesivo, cuando los parámetros estén claros por el contexto, nos limitaremos a escribir

Pn (x)

para denotar el polinomio de Taylor.

f es un polinomio de grado n entonces f (x) = Pn (x), pero,obviamente, esto sólo ocurre cuando f es un polinomio; en otro caso f (x) − Pn (x) ≡ 0. A la
diferencia entre la función y su polinomio de Taylor de grado n se le llama resto del polinomio
y lo denotaremos por Rn (x; x0 ) := f (x) − Pn (x). La proposición 1.5 nos dará una propiedad
Antes hemos probado que cuando

importante del resto y el teorema de Taylor 1.10 proporciona una expresión clara...