Física

Introducción

Los apuntes recogidos en el presente documento corresponden al temario de la asignatura de tercer curso (finales del primer ciclo) Física Quàntica de la Facultad de Física de la Universidad de Barcelona. Se tratan en primer lugar los grandes hechos experimentales que llevaron a la revolución que la mecánica cuántica supuso en la concepción de nuestro universo, pasandoposteriormente a exponer brevemente los principales métodos de cálculo en que se basa la física cuántica, sin entrar en detalles abstractos sobre los espacios de Hilbert y la notación de Dirac. Por último, se resuelven algunos ejemplos simples de sistemas cuánticos, como son el caso de pozos unidimensionales y el átomo de hidrógeno. En general, los resultados se incluyen sin demostración.
1. Propiedadescorpusculares de la radiación

1.1 Radiación del cuerpo negro

Un cuerpo negro es aquel que absorbe toda la radiación electromagnética que incide en su superficie. El teorema de Kirchoff, que afirma que todo buen emisor es buen un buen absorbente y viceversa, nos asegura que el cuerpo negro es también un emisor perfecto. Se observa que el espectro de emisión del cuerpo negro depende de latemperatura, según una densidad espectral de energía $ \rho_T(\nu)$ , donde $ \rho_T(\nu)\ensuremath{\mathrm{d}}\nu$ representa la energía por unidad de volumen correspondiente a radiación electromagnética con frecuencia entre $ \nu$ y $ \nu+\ensuremath{\mathrm{d}}\nu$ .
La densidad total de energía viene dada por $ \rho_T = \int_0^\infty\rho_T(\nu)\ensuremath{\mathrm{d}}\nu$ . La radiancia $ R_T$ ,flujo por unidad de tiempo de energía emitida, se relaciona con la densidad total de energía por $ R_T = \frac{c}{4}\rho_T$ . La mismas relaciones son ciertas para la densidad espectral de energía i la radiancia espectral.

Stefan dedujo que la radiancia se relaciona con la temperatura según $ R_T = \sigma T^4$ , donde $ \sigma =
5.67051\ensuremath{\times10^{-8}}\mathrm{W}\mathrm{m}^{-2}\mathrm{K}^{-4}$ es la constante de Stefan-Boltzmann. Wien dedujo también que $ \rho_T(\nu) = \nu^3 f(\nu / T)$ , de donde se deduce la ley del desplazamiento, que afirma que la frecuencia donde se emite el máximo de potencia es proporcional a la temperatura.

Max Plank dedujo experimentalmente la expresión definitiva

$\displaystyle \rho_T(\nu) = \frac{8\pi\nu^2}{c^3}\frac{h\nu}{\ensuremath{\mathrm{e}}^{
\frac{h\nu}{k T}}-1}$
donde $ h = 6.626\ensuremath{\times 10^{-34}}\mathrm{J s}$ es la constante de Plank.
Esta expresión se puede justificar suponiendo que $ 8\pi\nu^2c^{-3}$ representa el número de modos en la cavidad con frecuencia entre $ \nu$ y $ \nu+\ensuremath{\mathrm{d}}\nu$ . Si se supone que la energía de los modos sigue la distribución de Boltzmann discreta $ P(E) = C\ensuremath{\mathrm{e}}^{-E / k T}$ donde $ E = \epsilon, 2\epsilon, 3\epsilon, \ldots$ y $ C$ es una constante de normalización $ C = 1-\ensuremath{\mathrm{e}}^{-\epsilon/ k T}$ . La energía media de cada modo viene dada por

$\displaystyle \langle E \rangle = C \sum
n\epsilon\ensuremath{\mathrm{e}}^{-\epsilon / k T} = \frac{\epsilon}{\ensuremath{\mathrm{e}}^{\epsilon / k T} - 1}$Comparando con la ley de Plank, vemos que $ \epsilon = h\nu$ , y la radiación electromagnética se comporta como si estuviera formada por partículas de energía $ h\nu$ .
El límite $ \epsilon \to 0$ da que la energía media de los modos es $ k T$ (teorema de equipartición), resultado que resulta muy errónea a frecuencias altas (catástrofe ultravioleta). Los experimentos confirman la ley de Plank con $\epsilon = h\nu$ y la discretización de la energía.

1.2 Efecto fotoeléctrico

Basado en la emisión de electrones sobre un metal (cátodo). En 1905 A. Einstein predijo que en este proceso, la luz se comporta como compuesta por partículas (fotones) de energía $ E=h\nu$ , cada una de las cuales puede interaccionar con un solo electrón, y cada electrón puede interaccionar con un solo fotón.
Si...