gadg

Anexo B

Propiedades B´sicas de los
a
N´meros Complejos
u

Los n´meros complejos se pueden expresar de varias formas. La primera es la forma
u
√
binomial: z = a + bi, siendo a y b n´merosreales e i = −1, la unidad imaginaria. Se
u
dice entonces que a es la parte real de z y b su parte imaginaria y se escribe a = Re z y
b = Im z. Los n´meros reales son un subconjunto de los n´meroscomplejos:aquellos cuya
u
u
parte imaginaria es 0.
Si z = a + bi entonces z = a − bi es otro n´mero complejo llamado conjugado de z. Se
u
tiene entonces que

1. zz = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2. El n´mero real positivo
u
nombre de m´dulo de z y se representa por |z|.
o

2. De lo anterior deducimos que zz = |z|2 y, para z = 0, z =
siempre que z = 0.
215

√

zz =

√

a2 + b2recibe el

|z|2
1
z
. Por lo tanto, = 2
z
z
|z|

216

Propiedades B´sicas de los N´meros Complejos
a
u

Im

z
|z|

b

θ
a

Re

Podemos identificar cada n´mero complejo
u
z= a + bi con el par de n´meros reales
u
(a, b) y representarlo como un vector en el
plano con origen en el punto (0, 0) y final
en el punto √ b). De esta forma el m´dulo
(a,
o
2 + b2 , es elm´dulo del veco
de z, |z| = a
tor. Al ´ngulo, θ, que forma con la direcci´n
a
o
positiva del eje de abscisas se le llama argumento principal de z. Tenemos entonces que
a = |z| cos θ y b = |z| sen θy otra forma de
escribir el n´mero complejo z = a + bi es
u
z = |z|(cos θ + i sen θ). Y, con esta notaci´n,
o
su conjugado ser´ z = |z|(cos θ − i sen θ)
ıa

La f´rmula de Euler establece queo
cos θ + i sen θ = eiθ .
Utilizando esta f´rmula podemos escribir z de una nueva forma: z = |z|eiθ y su conjugado
o
−iθ
z = |z|e . Como el m´dulo de z, |z|, es un n´mero real positivo, siempreexiste un n´mero
o
u
u
r
real r tal que e = |z| (en otras palabras, r = ln |z|). Entonces podemos escribir z = er eiθ =
er+iθ = er (cos θ + i sen θ).
En realidad, los n´meros complejos surgen...