gatos

Tema 3 – DERIVABILIDAD DE FUNCIONES

3.1.- Definición e interpretación económica de derivada de una función
real de variable real
3.2.- Cálculo de derivadas
3.3.- Definición e interpretación económica de derivadas parciales de
funciones escalares y vectoriales
3.4.- Derivadas sucesivas de funciones de una o más variables
3.5.- Gradientes, Jacobianas y Hessianas

1

SECCIÓN 3.1 –Definición e
interpretación económica de
derivada de una función real de
variable real

2

݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ʹ ‫ ݔ כ‬ଶ ൅ ‫ ݔ‬൅ ͳ
݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ Ȁʹ ൅ ʹ‫ ݔ‬൅ ͵Ȁʹ

50

40

30

x

f(x)

g(x)

f(x)

20

Ͳ5

46

4

Ͳ4

29

1,5

Ͳ3

16

0

Ͳ2

7

Ͳ0,5

Ͳ1

2

0

0

1

1,5

1

4

4

2

11

7,5

3

22

12

g(x)

10

0
Ͳ6

Ͳ5

Ͳ4Ͳ3

Ͳ2

Ͳ1

0

1

2

3

4

Ͳ10

݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ʹ ‫ ݔ כ‬ଶ ൅ ‫ ݔ‬൅ ͳ

݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ Ȁʹ ൅ ʹ‫ ݔ‬൅ ͵Ȁʹ

݂ሺͳሻ ൌ Ͷ

݃ሺͳሻ ൌ Ͷ

݂Ԣሺ‫ݔ‬ሻ ൌ Ͷ‫ ݔ‬൅ ͳ

݃Ԣሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬൅ ʹ

݂Ԣሺͳሻ ൌ ͷ

݃Ԣሺͳሻ ൌ ͵

¿Signo de ݂ ᇱ െ͵ ǫ

3

Definición – Derivada de una función real de variable real en un punto
o

Sea una función f: D Ž Թ o Թ y p  D . Se llama derivada de f en el punto
p alsiguiente límite, cuando exista:

f '( p) lim f ( p  hh)  f ( p)
ho0

En dicho caso, se dice que f es derivable en el punto p.
Notación:

f '( p) df ( p)
dx

Interpretación:
La derivada de f en p representa aproximadamente el incremento que
experimenta la función f por cada unidad que se incrementa la variable partiendo
de que el valor inicial de la variable es el dado por el punto p. Laaproximación
será mejor cuanto menor sea el incremento de la variable x.

f ( p  h)  f ( p) | f '( p)
h

f ( p  h) - f ( p) | f '( p) h

Se suele usar también
'x en lugar de h.

f ( p  h) | f ( p)  f '( p) h
f (q) | f ( p)  f '( p) (q - p)

4

para un punto q muy cercano al punto p

݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ʹ ‫ ݔ כ‬ଶ ൅ ‫ ݔ‬൅ ͳ
݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ Ȁʹ ൅ ʹ‫ ݔ‬൅ ͵Ȁʹ
x

f(x)

g(x)

Ͳ546

4

Ͳ4

29

1,5

Ͳ3

16

0

Ͳ2

7

Ͳ0,5

Ͳ1

2

0

0

1

1,5

1

4

4

2

11

7,5

3

22

12

݃ሺͳሻ ൌ Ͷ

݂ሺͳሻ ൌ Ͷ
݂Ԣሺ‫ݔ‬ሻ ൌ Ͷ‫ ݔ‬൅ ͳ

݃Ԣሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬൅ ʹ

݂Ԣሺͳሻ ൌ ͷ

݃Ԣሺͳሻ ൌ ͵
50

40

30
f(x)

20

g(x)

10

0

f (q) | f ( p)  f '( p) (q - p)

Ͳ6

Ͳ5

Ͳ4

Ͳ3

Ͳ2

Ͳ1

0

1

2

3

4

Ͳ10

para unpunto q muy cercano al punto p

݂ ʹ ൎ ݂ ͳ ൅ ݂ ᇱ ͳ ʹ െ ͳ ൌ Ͷ ൅ ͷ ൌ ͻ
݂ ʹ ൌ ͳͳ

Consideremos p=1

݂ ͳǤͳ ൎ ݂ ͳ ൅ ݂ ᇱ ͳ ͳǤͳ െ ͳ ൌ Ͷ ൅ ͷ ‫Ͳ כ‬Ǥͳ
ൌ ͶǤͷ
݂ ͳǤͳ ൌ ͶǤͷʹ
5

¿Aproximación de g(0.9) y g(0.2)?

Interpretación geométrica: f’(p) = pendiente de la recta tangente a f en el punto p

6

(p,f(p))

‫ ݔ ݕ‬ൌ ݂ ‫ ݌‬൅ ݂ ᇱ ‫ כ ݌‬ሺ‫ ݔ‬െ ‫݌‬ሻ
p

݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ʹ ‫ ݔ כ‬ଶ ൅ ‫ ݔ‬൅ ͳ݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬ଶ Ȁʹ ൅ ʹ‫ ݔ‬൅ ͵Ȁʹ
‫ ݔ ݕ‬ൌ ݃ ͳ ൅ ݃Ԣሺͳሻ ‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬െ ͳሻ

‫ ݔ ݕ‬ൌ ݂ሺͳሻ ൅ ݂ ᇱ ሺͳሻ ‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬െ ͳሻ

‫ ݔ ݕ‬ൌ Ͷ ൅ ͵ ‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬െ ͳሻ

‫ ݔ ݕ‬ൌ Ͷ ൅ ͷ ‫ כ‬ሺ‫ ݔ‬െ ͳሻ
50

50

40

40

30

30

20

20
f(x)

10
0
Ͳ6

Ͳ4

Ͳ2

Ͳ10

g(x)

10

y(x)

y(x)

0
0

2

4

Ͳ6

Ͳ4

Ͳ2

Ͳ10

Ͳ20

Ͳ20

Ͳ30

Ͳ30

0

2

4

Si f y g representasen funciones debeneficio en función del tiempo.
¿Qué interpretación económica tendrían los valores f(1), g(1), f’(1) y g’(1)?

7

SECCIÓN 3.2 – Cálculo de derivadas

8

Propiedades de las derivadas

Derivadas de funciones elementales

݅ሻ ݂ܽ ‫ ݔ‬൅ ܾ݃ሺšሻ ᇱ ൌ ݂ܽ ᇱ ‫ ݔ‬൅ ܾ݃Ʋ ‫ݔ‬

función derivada
ܿ

݊‫ݔ‬

ܽ௫

௫

ܽ ݈݊ܽ

݈݊‫ݔ‬

ͳ
‫ݔ‬

݈‫݃݋‬௔ ‫ݔ‬
‫ݔ݊݁ݏ‬

ͳ
݈‫݃݋‬௔ ݁
‫ݔ‬
…‘• ‫ݔ‬ܿ‫ݔݏ݋‬

െ‫ݔ݊݁ݏ‬

‫ݔ‬

݅݅ሻ ݂ ‫݃ ݔ‬ሺšሻ ᇱ ൌ ݂ ᇱ ‫ ݔ ݃ ݔ‬൅ ݂ ‫݃ ݔ‬Ʋ ‫ݔ‬

Ͳ

௡

௡ିଵ

ᇱ

݂ ᇱ ‫ ݔ ݃ ݔ‬െ ݂ ‫݃ ݔ‬Ʋ ‫ݔ‬
݂ሺ‫ݔ‬ሻ
ൌ
݅݅݅ሻ
݃ሺ‫ݔ‬ሻ
݃ሺ‫ݔ‬ሻଶ
݅‫ݒ‬ሻ ݃ሺ݂ ‫ ݔ‬ሻ ᇱ ൌ ݃ᇱ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ݂Ʋ ‫ݔ‬
Regla de la cadena

Derivadas de funciones compuestas

función
݂ሺ‫ݔ‬ሻ
ܽ

derivada

௡

݊ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ

௙ሺ௫ሻ

ܽ௙ ௫

௡ିଵ

Ejemplos

‫݂ כ‬Ԣሺ‫ݔ‬ሻ

݈݂݊ܽԢሺ‫ݔ‬ሻ

Žሺ݂ ‫ ݔ‬ሻ...