Gauss-jordan

Algoritmo de Gauss-Jordán.
Se denomina matriz escalonada a una matriz en la que las filas posteriores
a una fila cuyos elementos son todos ceros, tienen todos sus elementos igualA cero, y el número de elementos nulos al comienzo de cada fila no nula es
Estrictamente menor que en la siguiente.
Teorema 1.1 Dada una matriz cualquiera A 2 Rm×n existenmatrices F y
U tales que FA = U siendo U una matriz escalonada.
Demostración. Probaremos el teorema de forma constructiva.
a) Si a11 6= 0, mediante transformaciones elementales filasFij(_) podemos
Anular todos los elementos de la primera columna, salvo el a11. Estas
Transformaciones serán de la forma Fi1(−ai1a11).
b) Si a11 = 0 y algún elemento de la primeracolumna es no nulo, podemos
llevarlo al lugar (11) mediante una transformación Fij y proceder después
como en el caso anterior.
c) Si ai1 = 0 8 i = 1, . . . , m, la primeracolumna es de ceros y por tanto,
ai1 = 0 8 i > 1, es decir, se trata de una columna del tipo de las matrices
escalonadas.
Procedemos después con a22 (el elemento a22 resultante delas transformaciones
anteriores) al igual que procedimos con a11 anteriormente, es decir, si a22 6= 0
lo utilizamos para hacer ceros por debajo de el en la segunda columna. Sifuese a22 = 0 vemos si existe por debajo de ´el algún elemento ai2 6= 0 y, en
caso de haberlo, realizamos la transformación F2i, etc.
Reiterando el proceso, llegamos a una matrizescalonada U. La matriz F
no es más que el producto de las matrices de las transformaciones elementales
filas realizadas para pasar de A a U.
El siguiente organigrama, muestra elalgoritmo de escalonamiento de una
matriz A 2 Rm×n, mediante transformaciones elementales filas. Cuando se
alcanza la condición de parada, la nueva matriz A es escalonada.