Gauss Legendre

METODO DE GAUSS LEGENDRE
La regla del trapecio es un método para aproximar el área limitada por una curva, que solo realiza dos evaluaciones de la función en los puntos extremos del intervalo.

Sila curva y=f(x) es cóncava, el error de aproximación es el área de toda la región comprendida entre la curva y el segmento rectilíneo, que une sus extremos.
Si utilizamos dos nodos x1,x2 interioresal intervalo[-1,1], entonces la línea recta que pasa por (x1,f(x1); (x2,f(x2)) corta a la curva y el área limitada por la recta es una aproximación mejor al área limitada por la curva.

Existen dosformas de calcular los valores del Metodo de Gauss Legendre

POLINOMIO DE LEGENDRE
Utilizaremos este método para hallar las abscisas xi y los pesos wi

Donde las raíces del polinomio
Sonreales

DESARROLLO DEL METODO
Por definición tenemos

En lugar de utilizar puntos equidistantes para dividir el intervalo [-1,1], consideramos los nodos xi y los pesos wi como parámetros paraoptimizar la aproximación

Los valores de los nodos corresponden a los ceros del polinomio de Legendre y los pesos se pueden calcular de la siguiente manera:

Los pasos anteriores sirven únicamente paraun intervalo que va de [-1,1], si se quiere resolver el problema en un intervalo general [a,b], se debe ajustar los valores xi y wi por un xi’ y un wi’ mediante un cambio de variable

Donde losvalores de xi’ y wi’ estan definidos por:

Obteniendo una formula general

METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS
Utilizaremos este método para hallar las abscisas x1,x2 y los pesos w1,w2

Estaformula es exacta para polinomios cúbicos de la forma

PROCEDIMIENTO
* Trazamos una línea recta por los 2 puntos que satisfacen la curva (puntos a y b).
* Encontramos los valores de C y D queson aquellos vértices que satisfacen a la curva.
* C tiene coordenadas ( x1 , f(x1) )
* D tiene coordenadas ( x2 , f(x2) )
* El área correspondiente por Gauss Legendre es :

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