Gauss-Seidel

Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos lasolución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial

El método de iteración Gauss-Seidel se computa, para la iteración (k+1)\,:


x^{(k+1)} = M x^{(k)} + c.\,
donde

A = N-P\,definimos

M = N^{-1}P\,
y

c= N^{-1}b\,,
donde los coeficientes de la matriz N se definen como n_{ij} = a_{ij}\, si i{\leq}j, n_{ij} = 0 \, si i>j\,.

Considerando el sistema Ax=b,\, conla condición de que a_{ii}{\neq}0, i= 1, ..., n\, . Entonces podemos escribir la fórmula de iteración del métodox_i^{(k+1)}=\frac{-\sum_{1{\leq}j{\leq}i-1}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum_{i+1{\leq}j{\leq}n}a_{ij}x_{j}^{(k)}+b_i}{a_{ii}}, i=1,...,n \, (*)
La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este último, las mejoras a las aproximaciones no se utilizan hasta completar lasiteraciones.


Entonces el método de Gauss-Seidel converge a una solución del sistema de ecuaciones, y la convergencia es por lo menos tan rápida como la convergencia del método de Jacobi.

Para ver loscasos en que converge el método primero mostraremos que se puede escribir de la siguiente forma:

x^{(k+1)}= M x^{(k)}+c , k=1,2,3... \, (**)
(el término x^{(k)} \, es la aproximación obtenidadespués de la k-ésima iteración) este modo de escribir la iteración es la forma general de un método iterativo estacionario.

Primeramente debemos demostrar que el problema lineal Ax=b que queremosresolver se puede representar en la forma (**), por este motivo debemos tratar de escribir la matriz A como la suma de una matriz triangular inferior, una diagonal y una triangular superior A=(L+D+U),D=diag( a_{ii} \, ). Haciendo los despejes necesarios escribimos el método de esta forma

x^{(k+1)}=-{(L+D)}^{-1}{U}x^{(k)}+{(L+D)}^{-1}b \,

por lo tanto M=-(L+D)-1 U y c=(L+D)-1b

Ahora...