Gauss Y Jordan

Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del P.P para la Universidad
Instituto Universitario Politécnico Santiago Marino
Carrera: Ingeniería Industrial
Cátedra: Análisis Numérico



Caracas, Marzo 2012
Desarrollo

El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss– Jordán, es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada. Son algoritmos del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el métodode Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce como: "forma escalonada".
El método de Gauss-Jordan es una variación de la eliminación gaussiana. La principal diferencia consiste en que método de Gauss-Jordan cuando seelimina una incógnita no solo se elimina de las ecuaciones siguientes si no de todas las otras ecuaciones. De esta forma el paso de eliminación genera una matriz identidad en vez de una matriz triangular.
El método fue presentado por el matemático Carl Friedrich Gauss, pero se conocía anteriormente en un importante libro matemático chino llamado Jiuzhang suanshu o Nueve capítulos del artematemático.[

Carl F. Gauss, matemático alemán, reconocido como el más grande del siglo diecinueve. Considerado uno de los tres matemáticos más grande de todos los tiempos, siendo los otros dos Arquímedes y Newton. Realizó descubrimientos en física y en matemáticas.

Camille Jordan, matemático francés. Reconocido matemático en el área del álgebra, geometría y topología.

Como hemos visto, elmétodo de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria (aij=0 para cualquier.

A.- Veamos el método de Gauss-Jordan siguiendo con el ejemplo empleado en el apartado anterior. Aplicando el método de Gauss habíamos llegado a la siguiente ecuación:

Ahoraseguiremos un procedimiento similar al empleado en el método de Gauss. Tomaremos como pivote el elemento a44=-3; multiplicamos la cuarta ecuación por y la restamos a la primera:

Realizamos la misma operación con la segunda y tercera fila, obteniendo:

Ahora tomamos como pivote el elemento a33=2, multiplicamos la tercera ecuación por y la restamos a la primera:

Repetimos la operación con lasegunda fila:

Finalmente, tomamos como pivote a22=-4, multiplicamos la segunda ecuación por y la sumamos a la primera:

El sistema de ecuaciones anterior es, como hemos visto, fácil de resolver. Empleando la ecuación (46) obtenemos las soluciones:

B.- Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables delsistema de ecuaciones lineales en su notación matricial:

Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):

Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:

Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de suma,resta, multiplicación y división; teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea el caso.
Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes, esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad, dichos términos resultaran ser la solución del sistema y verificaran la...