gauss

EL METODO DE REDUCCION DE GAUSS.
Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´gnitas es un sistema del tipo
o

 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1


a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn =b2
···



am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm ,
donde aij , bi son n´meros dados dados y xj son las inc´gnitas.
u
o
Un vector (α1 , α2 , . . . , αn ) es una soluci´n del sistema anteriorsi cumple:
o

 a11 α1 + a12 α2 + · · · + a1n αn = b1


a21 α1 + a22 α2 + · · · + a2n αn = b2
···



am1 α1 + am2 α2 + · · · + amn αn = bm
Se dice que un sistema de ecuacioneslineales es compatible si posee alguna
soluci´n y se dice que es incompatible si no tiene ninguna soluci´n.
o
o
Un sistema compatible se dice determinado si la soluci´n del sistema es
o
unica; siposee m´s de una soluci´n, el sistema se dice indeterminado.
´
a
o
Nuestro proposito es resolver sistemas de ecuaciones lineales. La idea para
resolverlos es transformar los sistemas en sistemasequivalentes que sean m´s
a
sencillos.
Decimos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones: cada soluci´n de un sistema es tambi´n soluci´n del otro.
o
e
o
Existe unaserie de transformaciones elementales que convierten un sistema
en uno equivalente:
a) intercambiar dos ecuaciones,
b) multiplicar una ecuaci´n por una constante no nula,
o
c) sumar a una ecuaci´notra multiplicada por un n´mero.
o
u
El m´todo de reducci´n o de eliminaci´n de Gauss es un procedimiento que
e
o
o
utiliza estas transformaciones de modo sistem´tico hasta encontrar un sistemaa
triangular equivalente.
Para ilustrarlo, supondremos que partimos de un sistema 3x3:

 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 ,Primera etapa: Triangularizaci´n. Podemos suponer que a11 = 0 (
o
en otro caso intercambiamos ecuaciones para que en la primera ecuaci´n la
o
inc´gnita x tenga un coeficiente no nulo).
o
Si sumamos a...