gauss

1. ¿Qué es Mínimo Cuadrado?

Es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: variable independiente, variabledependiente, y una familia de funciones, se intenta encontrar la función continua, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimoerror cuadrático.

En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias en las ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función elegida y loscorrespondientes valores en los datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio(LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuocuadrado.

2. Aplicación


Formulas Generales
Sea un conjunto de n puntos en el plano real, y sea una base de m funciones linealmente independiente en un espacio de funciones. Queremosencontrar una función que sea combinación lineal de las funciones base, de modo que , esto es:

Por tanto, se trata de hallar los m coeficientes que hagan que la función aproximante dé la mejoraproximación para los puntos dados . El criterio de "mejor aproximación" puede variar, pero en general se basa en aquél que minimice una "acumulación" del error individual (en cada punto) sobre elconjunto total. En primer lugar, el error (con signo positivo o negativo) de la función en un solo punto, , se define como:

pero se intenta medir y minimizar el error en todo el conjunto de laaproximación, . En matemáticas, existen diversas formas de definir el error, sobre todo cuando éste se refiere a un conjunto de puntos (y no sólo a uno), a una función, etc. Dicho error (el error"total" sobre el conjunto de puntos considerado) suele definirse con alguna de las siguientes fórmulas:
Error Máximo:
Error Medio:
Error cuadrático medio:
La aproximación por mínimos cuadrados...