Gauss

1 Flujo del campo eléctrico

Ley de Gauss
• El número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie depende de la
orientación de esta última con respecto a las líneas de campo.
• dS es un vector de módulo el elemento
de área infinitesimal de la superficie,
dirección perpendicular a la misma y
sentido hacia afuera de la curvatura.

• El flujo del campo eléctrico es una magnitudescalar que se define mediante el producto
escalar:
ΦE =

d S .E
S

Flujo del Campo Eléctrico
El flujo (denotado como Φ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una
superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el flujo ( ΦE
) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie.
Para definir al flujo eléctrico con precisiónconsidérese la figura, que muestra una superficie
cerrada arbitraria ubicada dentro de un campo eléctrico.
cuadrados elementales ∆S , cada uno de
los cuales es lo suficientemente pequeño
como para que pueda ser considerado como
un plano. Estos elementos de área pueden
ser representados como vectores ∆S , cuya
magnitud es la propia área, la dirección es
perpendicular a la superficie y hacia afuera.

Lasuperficie se encuentra dividida en

Flujo del Campo Eléctrico
En cada cuadrado elemental también es
posible trazar un vector de campo eléctrico
E . Ya que los cuadrados son tan pequeños
como se quiera, E puede considerarse
constante en todos los puntos de un
cuadrado dado.
E y ∆S caracterizan a cada cuadrado y
forman un ángulo θ entre sí. La figura

muestra una vista amplificada de dos
cuadrados.El flujo, entonces, se define como sigue:
(1)ΦE =

E ·∆S

En el límite:
(2)ΦE =

S

E · dS

Ley de Gauss

Teorema 1. El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada S es igual
a la carga Q contenida dentro de la superficie, dividida por la constante ε0
d S .E =
s

Q
ε0

La superficie cerrada empleada para calcular el flujo del campo eléctrico se denomina
superficiegaussiana.

Angulo Sólido
• El ángulo sólido ∆Ω que es subtendido por ∆A sobre una superficie esférica, se define
∆A
como: ∆Ω = r2 siendo r el radio de la esfera.
Como el área total de la esfera es 4πr 2 el ángulo sólido para ‘’toda la esfera” es:
∆Ω =

∆A
r2

=

4πr 2
r2

=4π La unidad de este ángulo es el estereorradián (sr)

• Si el área ∆A no es perpendicular a las líneas que salen del origen quesubtiende a ∆Ω,
se busca la proyección normal, que es:
∆Ω =

∆A n
ˆ ·rˆ
2
r

=

∆A cos θ
r2

S

• Ω = R2

Figura 1. Para calcular el ángulo sólido de un superficie, se proyecta el objeto sobre una esfera de radio
conocido R

Flujo debido a una carga puntual
• Consideremos una carga puntual q rodeada por una superficie cualquiera S. Para calcular
el flujo que atraviesa esta superficie es necesarioencontrar E ·nˆ ∆A para cada elemento
de área de la superficie, para luego sumarlos. Usando la ley de Coulomb se tiene:
∆Φ= E ·nˆ ∆A=

kq
rˆ ·nˆ ∆A=kq ∆Ω
r2

De esta manera ∆Ω es el mismo ángulo sólido subentendido por una superficie esférica.
como se mostró un poco más arriba ∆Ω = 4π para cualquier esfera, de cualquier radio.Al
sumar todos los flujos que atraviesan la superficie queda:
4π

Φ=

E ·nˆdA =kq
S

dΩ=4πkq =
0

q
ǫ0

Flujo de varias cargas puntuales
• Recordemos que el campo eléctrico satisface el principio de superposición:
Si Ei(x ) es el campo eléctrico debido a una carga qi en el punto x , el campo eléctrico
en x debido a todas las cargas es:
E (x ) =

Ei(x )
i

• Lo mismo pasa con el flujo del campo eléctrico a través de una superficie S
Φ=

d S .E (x ) =
S

Ei(x ) =

dS.
Si

i

• Por lo tanto:
Φ=

Φi =
i

1
ε0

Φi

qi
i

Implicancias
La ley de Gauss puede ser utilizada para demostrar que no existe campo eléctrico dentro de
una jaula de Faraday(Un volumen V sin carga eléctrica rodeado por una superficie conductora
cerrada S).
El potencial φ en el interior del conductor
cumple la ecuación de Laplace: ∇2 φ =
0
∀r ∈V
Dado que el conductor está en equilibrio
en su...