GC3 APCDeI 2015 2 L Mites Continuidad

Tema: Continuidad de una función

Sea f una función definida en el conjunto y .

Definición

Se dice que una función es continua en x=a si satisface las tres condiciones siguientes.

i. estádefinido para todo

ii. existe

iii.

Si por lo menos una de las tres condiciones no se cumple para x=a, se dice que f es discontinua en a.

Ejemplo 1: Dada la función


Determine si f es continua enx=3.

Solución

i. f(3)=



ii.




iii. De i) y ii) se verifica.









Observación

i. Si una función f es discontinua en a de manera que existe, pero , la discontinuidad se llamadiscontinuidad evitable o removible, pues se puede redefinir la función en a de modo que . Así, la función redefinida resulta continua en x=a.
ii. Si la discontinuidad en x=a no es removible, se llamadiscontinuidad esencial, y se presenta cuando no existe o no es finito.

Ejemplo 2. Si , determine sus puntos de discontinuidad.
Además, indique el tipo de discontinuidad y, si es posible, redefina la funciónpara evitar la discontinuidad.

Solución

En esta función, la discontinuidad se presenta en los valores de x para los cuales el denominador se anula, es decir.

Luego no está definida en

Paradeterminar el tipo de discontinuidad, calculamos los límites en estos puntos.


y

En consecuencia la discontinuidad en x= es y la discontinuidad en x= es

Redefiniendola función en x= , se obtiene la función.





Se observa que g es continua en x= , mientras que la discontinuidad en x= no puede_______ (la discontinuidad en x= es____________)EJERCICIOS DE CLASE

1. Evaluar la continuidad de la funciones en x = -2.
a.

b.

c.


2. Discutir la continuidad de cada función

a.









b.








c.











3. Calcularlos valores de “x” para los cuales f no es continua. ¿En qué caso la discontinuidad es removible?

a.


b.


c.


d.


4. Determinar la constante “a”, o las constantes “a” y “b”, tal que la...