Gcmat3
Páginas: 50 (12400 palabras)
Publicado: 14 de abril de 2015
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA
LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS
Introducci´
on a la geometr´ıa
del plano y del espacio. Curvas.
Ram´on Bruzual
Marisela Dom´ınguez
Caracas, Venezuela
Septiembre 2005
Ram´on Bruzual
Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve
Marisela Dom´ınguez
Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve
Laboratorio de Formas en Grupos
Centrode An´alisis
Escuela de Matem´atica
Facultad de Ciencias
Universidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg
Nota: Este material est´a disponible en la p´agina web
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg/guias.htm
En general mantenemos una r´eplica en un servidor externo a la Universidad Central de
Venezuela, el v´ınculo se encuentra indicado en esa misma p´agina web.
Pr´ologo
Estasnotas han sido concebidas para ser utilizadas en la parte de Geometr´ıa del Plano,
Geometr´ıa del Espacio y Curvas, del curso de Matem´atica III de la Facultad de Ciencias de la
Universidad Central de Venezuela. En este curso participan estudiantes de las Licenciaturas
en Biolog´ıa, Geoqu´ımica, Qu´ımica, Computaci´on, F´ısica y Matem´atica.
El trabajo de mecanograf´ıa y la elaboraci´on de losgr´aficos est´a a cargo de los autores.
Agradecemos cualquier observaci´on o comentario que deseen hacernos llegar.
Ram´on Bruzual.
Marisela Dom´ınguez.
Septiembre 2005.
iii
CONTENIDO
Cap´ıtulo 1. Nociones de geometr´ıa plana y del espacio.
1. El plano R2 .
1
1
3
2. El espacio R .
5
3. Producto escalar, norma y distancia.
7
4. Producto cruz o producto vectorial.
10
5. Rectas y planos en elespacio.
11
6. Relaciones entre subconjuntos y desigualdades sencillas
14
7. Superficies en R3 .
15
8. Lectura adicional: Abiertos y cerrados.
19
9. Distintos sistemas de coordenadas en R2 y en R3 .
22
Ejercicios.
Geometr´ıa plana y del espacio.
27
Cap´ıtulo 2. Curvas en el plano y en el espacio.
33
1. Motivaci´on.
Descripci´on del movimiento de un proyectil, despreciando laresistencia del aire.
33
2. Curvas y trayectorias.
35
3. L´ımites y continuidad de las trayectorias.
37
4. Vector tangente a una curva.
37
5. Reparametrizaci´on.
41
6. Longitud de arco.
41
Ejercicios.
Curvas en el plano y en el espacio.
45
Cap´ıtulo 3. Integrales de l´ınea.
49
1. Definici´on y ejemplos de integrales de l´ınea.
49
2. Interpretaci´on como trabajo mec´anico.
52
3. Lecturaadicional: Integrales de l´ınea sobre curvas lisas a trozos.
53
Ejercicios.
Integrales de l´ınea.
55
v
vi
CONTENIDO
Bibliograf´ıa
57
´Indice
59
CAP´ITULO 1
Nociones de geometr´ıa plana y del espacio.
Subconjuntos de R2 y R3 . Vectores. Producto escalar y vectorial. Ecuaci´on
param´etrica de la recta. Representaci´on de subconjuntos definidos mediante ecuaciones y desigualdadessencillas. Superficies en R3 : plano, esfera, elipsoide, cilindro, cono, paraboloide, hiperboloide. Bolas abiertas y
bolas cerradas en R2 y R3 . Idea de abierto, cerrado y frontera.
Distintos sistemas de coordenadas en R2 y en R3 : polares, cil´ındricas y
esf´ericas. Transformaci´on de coordenadas. Parametrizaci´on de subconjuntos de R2 y de R3 en estas coordenadas.
1. El plano R2 .
Comenzaremosrecordando algunos conceptos de cursos previos de matem´atica y de f´ısica.
El espacio unidimensional R se identifica con una recta.
Es importante notar que para un n´
umero real x, la distancia de x al origen de la recta es
√
|x| = x2 .
Esta distancia se conoce como el m´odulo o la norma de x.
Consideremos el espacio bidimensional
R2 = R × R = {(x, y) : x, y ∈ R}.
El espacio R2 puede ser representado,de manera natural, mediante un plano: Trazamos
una recta horizontal y una vertical, que llamaremos eje x y eje y respectivamente. Determinamos una escala en cada una de estas rectas (no es imprescindible que sean iguales). Para
cada punto P del plano trazamos rectas paralelas a los ejes que pasen por P . De acuerdo
a la identificaci´on de la recta con el conjunto de los n´
umeros reales, sea a...
FACULTAD DE CIENCIAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA
LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS
Introducci´
on a la geometr´ıa
del plano y del espacio. Curvas.
Ram´on Bruzual
Marisela Dom´ınguez
Caracas, Venezuela
Septiembre 2005
Ram´on Bruzual
Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve
Marisela Dom´ınguez
Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve
Laboratorio de Formas en Grupos
Centrode An´alisis
Escuela de Matem´atica
Facultad de Ciencias
Universidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg
Nota: Este material est´a disponible en la p´agina web
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg/guias.htm
En general mantenemos una r´eplica en un servidor externo a la Universidad Central de
Venezuela, el v´ınculo se encuentra indicado en esa misma p´agina web.
Pr´ologo
Estasnotas han sido concebidas para ser utilizadas en la parte de Geometr´ıa del Plano,
Geometr´ıa del Espacio y Curvas, del curso de Matem´atica III de la Facultad de Ciencias de la
Universidad Central de Venezuela. En este curso participan estudiantes de las Licenciaturas
en Biolog´ıa, Geoqu´ımica, Qu´ımica, Computaci´on, F´ısica y Matem´atica.
El trabajo de mecanograf´ıa y la elaboraci´on de losgr´aficos est´a a cargo de los autores.
Agradecemos cualquier observaci´on o comentario que deseen hacernos llegar.
Ram´on Bruzual.
Marisela Dom´ınguez.
Septiembre 2005.
iii
CONTENIDO
Cap´ıtulo 1. Nociones de geometr´ıa plana y del espacio.
1. El plano R2 .
1
1
3
2. El espacio R .
5
3. Producto escalar, norma y distancia.
7
4. Producto cruz o producto vectorial.
10
5. Rectas y planos en elespacio.
11
6. Relaciones entre subconjuntos y desigualdades sencillas
14
7. Superficies en R3 .
15
8. Lectura adicional: Abiertos y cerrados.
19
9. Distintos sistemas de coordenadas en R2 y en R3 .
22
Ejercicios.
Geometr´ıa plana y del espacio.
27
Cap´ıtulo 2. Curvas en el plano y en el espacio.
33
1. Motivaci´on.
Descripci´on del movimiento de un proyectil, despreciando laresistencia del aire.
33
2. Curvas y trayectorias.
35
3. L´ımites y continuidad de las trayectorias.
37
4. Vector tangente a una curva.
37
5. Reparametrizaci´on.
41
6. Longitud de arco.
41
Ejercicios.
Curvas en el plano y en el espacio.
45
Cap´ıtulo 3. Integrales de l´ınea.
49
1. Definici´on y ejemplos de integrales de l´ınea.
49
2. Interpretaci´on como trabajo mec´anico.
52
3. Lecturaadicional: Integrales de l´ınea sobre curvas lisas a trozos.
53
Ejercicios.
Integrales de l´ınea.
55
v
vi
CONTENIDO
Bibliograf´ıa
57
´Indice
59
CAP´ITULO 1
Nociones de geometr´ıa plana y del espacio.
Subconjuntos de R2 y R3 . Vectores. Producto escalar y vectorial. Ecuaci´on
param´etrica de la recta. Representaci´on de subconjuntos definidos mediante ecuaciones y desigualdadessencillas. Superficies en R3 : plano, esfera, elipsoide, cilindro, cono, paraboloide, hiperboloide. Bolas abiertas y
bolas cerradas en R2 y R3 . Idea de abierto, cerrado y frontera.
Distintos sistemas de coordenadas en R2 y en R3 : polares, cil´ındricas y
esf´ericas. Transformaci´on de coordenadas. Parametrizaci´on de subconjuntos de R2 y de R3 en estas coordenadas.
1. El plano R2 .
Comenzaremosrecordando algunos conceptos de cursos previos de matem´atica y de f´ısica.
El espacio unidimensional R se identifica con una recta.
Es importante notar que para un n´
umero real x, la distancia de x al origen de la recta es
√
|x| = x2 .
Esta distancia se conoce como el m´odulo o la norma de x.
Consideremos el espacio bidimensional
R2 = R × R = {(x, y) : x, y ∈ R}.
El espacio R2 puede ser representado,de manera natural, mediante un plano: Trazamos
una recta horizontal y una vertical, que llamaremos eje x y eje y respectivamente. Determinamos una escala en cada una de estas rectas (no es imprescindible que sean iguales). Para
cada punto P del plano trazamos rectas paralelas a los ejes que pasen por P . De acuerdo
a la identificaci´on de la recta con el conjunto de los n´
umeros reales, sea a...
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