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® baltaM ne nóicamargorP .8
NEMUSER .7
nóiculoser ed soticílpmi sodotéM .6
oticílpxe odotéM .5
satinif saicnerefid etnaidem senoicamixorpA .4
selaicrap sadavired ne senoicauce sal ed nóicacifisalC .3
arutalcnemoN .2
nóiccudortnI .1

SELAICRAP SADAVIRED
NE SELAICNEREFID SENOICAUCE

.7 AMET
.7 AMET
.7 AMET

Tema 7: Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

Cálculo numéricoen Ingeniería

Tema 7: Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

nóiccudortnI .1
nóiccudortnI .1
nóiccudortnI .1
nóiccudortnI .1
En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como
EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes
x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las
ecuaciones en derivadasparciales se emplean en la formulación matemática
de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el
espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del
calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad,
la mecánica cuántica y muchos otros.
Para la resolución de este tipo de problemas existe una gran variedadde
métodos muy sofisticados. Sin embargo, un conjunto de métodos relativamente
sencillo y que se puede aplicar en un gran número de casos son los métodos
mediante diferencias finitas.

arutalcnemoN .2
arutalcnemoN .2
arutalcnemoN .2
arutalcnemoN .2
θ

contribución explícita a la solución del sistema

Tit

temperatura del punto i al tiempo t
densidad
reagrupamientos de variables(ver texto)
constantes del sistema de ecuaciones diferencial
capacidad calorífica
discriminante
función dependiente de la variable x
derivadas primera y segunda de f(x) respecto a x
conductividad térmica
flujo de calor
variable tiempo
temperaturas de los puntos 0 e i
temperatura en la superficie
variables del sistema
punto sobre el que se calcula la derivada
punto siguiente al que secalcula la derivada

ρ
α, r
A,B,C
CP
D
f(x)
f’(x), f’’(x)
k
q
t
T0, Ti
Ts
x, y
xi
xi+1

Cálculo numérico en Ingeniería

selaicrap sadavired ne senoicauce sal ed nóicacifisalC .3
selaicrap sadavired ne senoicauce sal ed nóicacifisalC .3
selaicrap sadavired ne senoicauce sal ed nóicacifisalC .3
selaicrap sadavired ne senoicauce sal ed nóicacifisalC .3
Considere la ecuación:∂2 f
∂2 f
∂2 f
A 2 +B
+
=0
∂x
∂x ∂y ∂ y 2
Las ecuaciones en derivadas parciales se clasifican en función del valor del
discriminante D definido como:

 D < 0 elíptica

D = B – 4 A C  D = 0 parabólica
 D > 0 hiperbólica

2

Para este tema nos vamos a centrar en las ecuaciones de tipo parabólico,
aunque los resultados obtenidos se pueden extender sin problemas a
ecuaciones detipo elíptico o hiperbólico.
Si existen coeficientes de derivadas de distinto orden, una forma de obtener la
clasificación es fijarse en los coeficientes de mayor orden, y entonces será:
• Hiperbólica: si todos los coeficientes son no nulos y uno de ellos es de
signo diferente.
• Elíptica: si todos los coeficientes son no nulos y del mismo signo
• Parabólica: si al menos hay un coeficientenulo

:solpmejE

Hiperbólica:

Elíptica:
Parabólica:

dC
dC
−U
= 0 Ec. de advección
dt
dx
d 2C
d 2C
− a 2 = 0 Ec. de onda
dt 2
dx
2
2
∂T ∂T
+
= 0 Ec. de Laplace
∂x 2 ∂y 2
∂C
∂ 2C
− D 2 = 0 Ec. de difusión
∂t
∂x

satinif saicnerefid etnaidem senoicamixorpA .4
satinif saicnerefid etnaidem senoicamixorpA .4
satinif saicnerefid etnaidem senoicamixorpA .4
La resoluciónde una ecuación diferencial en derivadas parciales por
diferencias finitas trata de discretizar las ecuaciones. En nuestro caso
debemos obtener una aproximación en diferencias de las derivadas primera y
segunda utilizando sólo valores de la función que estamos estudiando.
Podemos obtener dichas aproximaciones por desarrollo en serie de Taylor o

Tema 7: Ecuaciones diferenciales en...