Generacion De Numeros Aleatorios

GENERACION DE NUMEROS ALEATORIOS
Un paso clave en simulación es tener rutinas que generen variables aleatorias con distribuciones especificas: exponencial, normal, etc. Esto es hecho en dos fases. La primera consiste en generar una secuencia de números aleatorios distribuidos uniformemente entre 0 y 1. Luego esta secuencia es transformada para obtener los valores aleatorios de las distribucionesdeseadas. La primera fase es la que nos concierne ahora. I. PROPIEDADES DESEADAS DE BUENOS GENERADORES Veamos como operan los generadores para poder entender porque uno puede ser considerado mejor que otro. El método más común es generar el siguiente número a partir de los últimos números generados:
xn = f ( xn − 1 , xn − 2 ,...)

Una de estas funciones es:
xn = (5 xn − 1 + 1) mod 16

Sicomenzamos con x0 = 5 los primeros 32 números generados son: 10, 3, 0, 1, 6, 15, 12, 13, 2, 11, 8, 9, 14, 7, 4, 5, 10, 3, 0, 1, 6, 15, 12, 13, 2, 11, 8, 9, 14, 7, 4, 5. Las x son enteros entre 0 y 15, y si las dividimos entre 16 obtenemos una secuencia de números aleatorios entre 0 y 1: 0.6250, 0.1875, 0.0000, ... Si conocemos f podemos generar la secuencia en cualquier momento si tenemos el valorde x0. El valor usado para comenzar la secuencia es llamado semilla. Nótese que f es determinística. Dada la semilla se puede predecir con probabilidad 1 los números de la secuencia. Sin embargo, los números son aleatorios en el sentido de que pasan pruebas estadísticas de aleatoriedad y por esto son llamados pseudo-aleatorios. En muchos casos se prefieren estos números en vez de los completamentealeatorios ya que es necesario repetir las secuencias en distintos experimentos. Si deseamos otra secuencia simplemente cambiamos la semilla. Nótese que en el ejemplo la secuencia tiene un ciclo y la longitud del ciclo es 16. Algunos generadores no repiten la parte inicial de la secuencia. Esta parte es llamada cola. En estos casos el periodo del generador es la longitud de la cola más la longituddel ciclo.

Semilla

Cola Periodo

Longitud del ciclo

Prof. Herbert Hoeger

Simulación

IV-1

La propiedades deseadas del generador son las siguientes: 1. Deben ser eficientes computacionalmente: dado que típicamente se requieren varios miles de números aleatorios por corrida, el tiempo de procesador requerido para generarlos debe se pequeño. 2. El periodo debe ser largo: periodoscortos limitan la longitud aprovechable de una corrida de simulación porque el reciclaje resulta en una repetición de secuencias de eventos. 3. Los valores sucesivos deben ser independientes y uniformemente distribuidos: la correlación entre números sucesivos debe ser pequeña y si es significante indica dependencia. Las primeras dos propiedades son relativamente fáciles de implementar. La tercerarequiere un conjunto de pruebas estadísticas. Entre los generadores que discutiremos están: • Generadores congruenciales-lineales • Generadores de Fibonacci extendidos • Generadores Combinados II. GENERADORES CONGRUENCIALES-LINEALES (GCL) En 1951, D. H. Lehmer descubrió que residuos de potencias sucesivas de un número tienen buenas propiedades aleatorias: xn = a n mod m Una expresión equivalentepara calcular xn después de calcular xn-1 es:
xn = axn −1 mod m

Los parámetros a y m son llamados multiplicador y modulo respectivamente. Muchos de los generadores actuales son generalizaciones de la propuesta de Lehmer y tienen la siguiente forma:
xn = (axn − 1 + b) mod m

en donde los x son enteros entre 0 y m-1, y las constantes a y b son no-negativas. La selección de a, b, y m afectanel periodo y la autocorrelación en la secuencia. Entre los resultados de los estudios realizados con estos generadores tenemos: 1. El modulo m debe ser grande. Dado que los x están entre 0 y m-1, el periodo nunca puede ser mayor que m. 2. Para que el computo de mod m sea eficiente, m debe ser una potencia de 2, es decir, 2k. En este caso mod m puede ser obtenido truncando el resultado y tomando...