Generacion de variables aleatorias discretas

Introducción
Existen varios métodos que nos permiten generar variables aleatorias. Lo normal es que existan varias opciones para generar una misma variable aleatoria.
La elección del método adecuado se puede basar en una serie de factores como:
Exactitud, se prefiere un métod exacto frente a métodos aproximados, como soluciones numéricas.
Velocidad. Uno de los datos que se toma enconsideración es el oem tiempo de generación de la variable.
Espacio. Necesidades de memoria del método utilizado. En general, los métodos no consumen mucha memoria.
Simplicidad.La mayoría de las técnicas utilizadas para la generación se pueden agrupar en:
Método de la transformada inversa
Método de aceptación-rechazo
Método de composición
Método de convolución

Generación de variables aleatoriasdiscretas
Método de la transformación inversa
Sea X una variable aleatoria discreta con función de distribución F y probabilidades puntuales

Considerando la función F, que es escalonada, se tiene el siguiente algoritmo:
1. Se hace s=p1, i=1.
2. Se genera .
Si , entonces x=xi es el valor que se genera y finaliza el algoritmo. Si u>s, entonces se hace i=i+1, s=s+pi y se repite elpaso 2.
Método del alias
(Este método sólo es válido para variables cuya probabilidad está concentrada en un número finito de puntos) Sea X tal que P(X=xi)=pi, . Tras una fase de preprocesamiento que se detalla más adelante, se tiene el siguiente algoritmo:
1. Se genera . Sean y=1+[ku], z=frac(ku).
2. Si , entonces k=y. Si z>Q(y), entonces k=A(y). Se toma x=xk.
Falta determinar losvalores Q(i) y los alias A(i) de modo que se tenga

Fase de preprocesamiento:
1. Para cada se define

2. Se repiten las siguientes operaciones (a lo sumo) k-1 veces:
* Selecciónese i tal que , Ii=true. Si esto no es posible, finaliza el preprocesamiento.
* Selecciónese j tal que , Ij=true.
* Hágase Ii=false, A(i)=j, Q(i)=kai, .
Ejemplo: Sea con x=0,1,2,3. El vector deprobabilidades es ( )

i=4, j=1, I(4)=False, A(4)=1, ,

i=3, j=2, I(3)=False, A(3)=2, ,

i=1, j=2, , A(1)=2,

Ahora asignamos el 1 al valor 0, el 2 al 1, el 3 al 2 y el 4 al 3, con lo cual cuando apliquemos la segunda parte del algoritmo del alias nos dará los valores que buscamos.
Distribuciones concretas
Distribución geométrica

Representa el número de fracasos hasta que seproduce el primer éxito en un experimento de Bernouilli de parámetro p.

La variable geométrica se puede relacionar fácilmente con la variable exponencial:

Sea .

Sea x>0.

Como , tomemos tal que para conseguir la expresión de probabilidad puntual de una distribución G(p). Basta tomar . Tras esto se toma un valor y generado según una y se toma x=[y]. Ya se vio que para ello hay quehacer , con , por lo que se concluye que

Distribución binomial negativa
Representa el número de fracasos antes del r-ésimo éxito en un experimento de Bernouilli de parámetro p.

Existen varias formas de simular variables con distribución binomial negativa: la más inmediata es ir simulando experimentos de Bernouilli de parámetro p y contabilizar los fracasos hasta que se obtiene el éxitor-ésimo. Otro modo consiste en observar que una variable BN(p,r) es suma de r variables geométricas G(p) independientes, por lo que basta simular r veces una geométrica con parámetro p y sumar los valores obtenidos.

Veamos también un algoritmo directo basado en el método de composición.

Sean (Poisson) y .

Luego esta composición es . Como nosotros queremos simular una BN(p,r), entoncesdebemos tomar , , resultando el siguiente algoritmo:
1. Se genera .
2. Se genera .

Este valor x está distribuido según una distribución binomial negativa BN(p,r).
Distribución de Poisson
En la primera parte de la asignatura se vio que si los tiempos entre sucesos consecutivos son , entonces el número de sucesos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson de parámetro . En...