Generacion de variables aleatorias

GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS
INTRODUCCIÓN
En estadística, un número aleatorio es un resultado de una variable al azar especificada por una distribución. Los algoritmos para la generación de valores uniformemente distribuidos están presentes en todas las calculadoras y lenguajes de programación, y suelen estar basados en congruencias numéricas del tipo:

El éxito de este tipo degeneradores de valores de una variable aleatoria depende de la elección de los cuatro parámetros que intervienen inicialmente en la expresión anterior:
• El valor inicial o semilla: x0
• La constante multiplicativa: a
• La constante aditiva: c
• El número m respecto al cual se calculan los restos.
Estos cuatro valores deben ser números enteros no negativos y que cumplan la siguiente condición: x0,a, c < m.
Por la condición anterior, es evidente que todos los valores generados por este procedimiento son números enteros entre 0 y m-1. El número máximo de cifras distintas que pueden obtenerse con el procedimiento descrito es m, así que llegará un momento en que el primer número generado se repetirá produciéndose un ciclo.
El ciclo dónde inevitablemente caerá el generador interesa que sea dela mayor longitud posible (como máximo m), para evitar que se repitan pronto los valores aleatorios. Por ejemplo, para los valores a = 3, c = 5, x0 = 2 y m = 32 se obtiene la siguiente secuencia de valores:
2-11-6-23-10-3-14-15-18-27-22-7-26-19-30-31-2-11-6
La secuencia generada tiene como longitud 16 números (el número generado en la decimoséptima posición es el 2 inicial, por lo que toda lasecuencia se repite a partir de ahí), muy inferior a la longitud máxima que podría tener (m=32). Determinadas elecciones de parámetros del generador (x0 , a , c y m) conducen a ciclos de amplitud máxima.
• Si c!=0:
• m. c .m.(c, m) = 1
• para cada primo p de m
• si 4 es divisor de m

• Si c=0:
• m es primo
• para cada factor primo p de m-1.
Por ejemplo, tomando como valores m = 25= 32, a = 5, x0 = 1 y c = 3 se obtiene la siguiente secuencia de números, que tiene longitud máxima:
1-8-11-26-5-28-15-14-9-16-19-2-13-4-23-22-17-24-27-10-21-12-31-30-25-0-3-18-29-20-7-6-1
En gran número de experimentos aleatorios es necesario, para su tratamiento matemático, cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento. Deeste modo se establece una relación funcional entre elementos del espacio muestral asociado al experimento y números reales.
Una variable aleatoria (v.a.) X es una función real definida en el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, Ω.

Se llama rango de una v.a. X y lo denotaremos RX, al conjunto de los valores reales que ésta puede tomar, según la aplicación X. Dicho de otromodo, el rango de una v.a. es el recorrido de la función por la que ésta queda definida:

DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA
La definición formal de variable aleatoria requiere ciertos conocimientos profundos de matemática (en concreto de teoría de la medida). Es la siguiente:
Dado un espacio de probabilidad y un espacio medible (también denominado a veces espacio de Borel) (S,Σ), una aplicaciónes una variable aleatoria si es una aplicación -medible.
En la mayoría de los casos se toma como espacio medible de llegada el formado por los números reales junto con la σ-álgebra de Borel (el generado por la topología usual de ), quedando pues la definición de esta manera:
Dado un espacio de probabilidad una variable aleatoria real es cualquier función -medible donde es la σ-algebraboreliana.

Ejemplo:
Supongamos que se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral, esto es, el conjunto de resultados elementales posibles asociado al experimento, es
Ω = {cc, cx, xc, xx},
donde (c representa "sale cara" y x, "sale cruz").
Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del experimento el número de caras obtenidas. De este modo se definiría la variable aleatoria X como...