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CAPITULO 1

Rudimentos sobre L´gica Matem´tica o a
El capitulo Rudimentos sobre L´gica Matem´tica est´ destinado esencialmente a desarrollar t´cnicas, que o a a e permitan validar o refutar f´rmulas proposicionales a trav´s de procesos concretos y abstractos. Para ello o e se generar´ un proceso de validaci´n, con sustento en la definici´n de tablas de verdad y falsedad para las a o ooperaciones l´gicas iniciales; conjunci´n, disyunci´n, implicaci´n (inferencia) y doble implicaci´n (equivaleno o o o o cia), para posteriormente dar origen a una base de datos que permita validar o negar proposiciones m´s a complejas (proposiciones compuestas), y finalmente prescindir de la estructura de ”tablas de verdad”, para validar en forma abstracta las proposiciones l´gicas. o 1. ProposicionesL´gicas o Para demostrar que una situaci´n es correcta o incorrecta, deben ocurrir algunas situaciones que aparenteo mente son tan naturales, que ni siquiera nos damos cuenta de su existencia. En efecto • Para demostrar la veracidad o falsedad de ”algo”, debe existir una situaci´n, la cual debe ser decidida o de acuerdo a ciertas claves enmarcadas en un sistema comprensible (l´gico) para los que est´ninvoluo a crados en el suceso. o o o • Dicha situaci´n para ser infalible en su decisi´n, debe poseer dos y s´lo dos ”opciones de verdad”, es decir, verdadera o falsa (cre´ ıble o no cre´ ıble). • La argumentaci´n total debe estar compuesta de una sucesi´n de estas situaciones las cuales intero o act´an armoniosamente, ya sea para obtener un valor de verdad verdadero o un valor de verdad falso. uDefinici´n 1.1. Llamaremos proposici´n l´gica a una oraci´n declarativa que es verdadera o falsa, pero o o o o nunca ambas. ´ Ejemplo 1.1.1. p: Algebra es una asignatura anual de Ingenier´a Civil en la Universidad de Santiago de ı Chile Ejemplo 1.1.2. q: 23 = 6 Ejemplo 1.1.3. r: Colo Colo es el mejor equipo de f´tbol de Chile u Con toda seguridad, p y q son proposiciones l´gicas, y aunque pese, r enlas actuales condiciones, no es una o proposici´n, pues un hincha de la ”Universidad de Chile”, por ejemplo no comparte mi idea. o 2. Generaci´n de Proposiciones y Tablas de Verdad o Definici´n 2.1. Si p es una proposici´n l´gica entonces le asociaremos una ”Tabla de verdad” de la forma: o o o p 0 1

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donde, 0 representa el valor de verdad falso(apagado) y 1 representa el valor de verdadverdadero(encendido).
1

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´ ´ 1. RUDIMENTOS SOBRE LOGICA MATEMATICA

Definici´n 2.2. Si p es una proposici´n l´gica entonces ∼ p representar´ la proposici´n negaci´n de p, y o o o a o o le asociaremos una ”Tabla de verdad” de la forma: p ∼p 0 1 1 0 (2)

Definici´n 2.3. Una proposici´n l´gica se dir´ compuesta si es formada por m´s de una proposici´n l´gica. o o o a a o o Para lasproposiciones p y q, las siguientes proposiciones compuestas por ellas ser´n consideradas b´sicas a a Definici´n 2.3.1. Llamaremos Conjunci´n o Producto l´gico de p y q a p ∧ q, y le asignaremos la ”Tabla o o o de verdad” p 0 0 1 1 q p∧q 0 0 1 0 0 0 1 1

(3)

Sintetiza el concepto de intersecci´n en el sentido que: p ∧ q ser´ verdadera s´lo si p y q lo son sio a o mult´neamente a Definici´n 2.3.2.Llamaremos Disyunci´n o Suma l´gica de p y q a p ∨ q, y le asignaremos la ”Tabla de o o o verdad” p 0 0 1 1 q p∨q 0 0 1 1 0 1 1 1

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Sintetiza el concepto de uni´n en el sentido que: Para que p ∨ q sea verdadera basta que una de ellas lo sea o Definici´n 2.3.3. Llamaremos Implicaci´n l´gica de p y q a p =⇒ q, y le asignaremos la Tabla de verdad o o o

p 0 0 1 1

q p =⇒ q 0 1 1 1 0 0 1 1(5)

Sintetiza el concepto de relaci´n causal, en el sentido que p =⇒ q ser´ falsa s´lo cuando la hip´tesis p es o a o o verdadera y la conclusi´n q es falsa. Caso contrario la nueva proposici´n es verdadera. o o Definici´n 2.3.4. Llamaremos Bicondicional l´gico de p y q, o equivalencia l´gica, a la proposici´n o o ´ o o p ⇐⇒ q, o (p ≡ q) y le asignaremos la ”Tabla de verdad” p 0 0 1 1 q p ⇐⇒ q...