general

ormaciones lineales
Una aplicación lineal es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de adición de vectores y multiplicación por un escalar.
Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales quecumpla la siguiente definición:
Sean y espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo . Una aplicación de en es una transformación lineal si para todo par de vectores y para todo escalar , se satisface que:

.
La aplicación que envía en (su conjugado) es una transformación lineal si consideramos a como un -espacio vectorial. Sin embargo, no lo es si lo pensamos como -espaciovectorial, ya que .
1. Dado un espacio vectorial cualquiera, podemos definir la función identidad , que resulta una transformación lineal.

2. Las homotecias: con . Si k > 1 se denominan dilataciones, si k < 1 se denominan contracciones.

3. Dada una matriz , la función definida como es una transformación lineal. Gracias a la matriz asociada (leer más abajo en el artículo), podemos concluirque cualquier transformación lineal definida entre espacios vectoriales de dimensión finita puede verse como multiplicar por una matriz.



4. Sea el conjunto de funciones continuas en y defínase mediante , ocurre que:

y
para
Por lo tanto, se cumple que y para todo y en y todo , así que es una aplicación lineal de en . 1

Teoremas
• Si T : V ® W es una transformaciónlineal, entonces V es dimensionalmente finito si y sólo si N(T) y R(T) son dimensionalmente finitos, y en este caso,
dim(V) = nulidad(T) + rango(T).
Demostración
Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un campo F, definimos
L(V, W) = {T : V ® W | T es una transformación lineal}.
Si T, U Î L(V, W) y a Î F, definimos aT + U : V ® W como (aT + U)(x) = aT(x) + U(x) para toda x Î F. Es unejercicio verificar que aT + U es una transformación lineal y que L(V, W), junto con estas operaciones de suma y de multiplicación por escalares, es un espacio vectorial sobre F.
Definimos el que una función fuera inyectiva, sobre y biyectiva. Es un ejercicio demostrar que para una transformación lineal T : V ® W, las siguientes condiciones son equivalentes:
• T es inyectiva
• N(T) = {0} (esdecir, nulidad(T) = 0)
• Para todo S ê V, S es linealmente independiente si y sólo si T(S) ê W es linealmente independiente
También se deja como ejercicio el verificar que si V y W son dos espacios vectoriales con la misma dimensión (finita) y T : V ® W es una transformación lineal, entonces T es inyectiva o sobre si y sólo si es biyectiva.
Una transformación lineal es una función que preservala estructura algebraica de espacio vectorial, por lo que no toda función entre espacios vectoriales es una transformación lineal. De hecho, es sencillo encontrar funciones inyectivas, sobre, y biyectivas que no son transformaciones lineales. Esto motiva las definiciones de monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo.
• Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F. Supongamos que V esdimensionalmente finito y que b = {x1, ..., xn} es una base de V. Entonces para todo {y1, ..., yn} í W, existe una unica transformación lineal T : V ® W tal que T(xi) = yi para toda i = 1, ..., n.


En la categoría de los espacios vectoriales dimensionalmente finitos, la dimensión es un invariante completo de isomorfismo. Es decir, para cualesquiera dos espacios vectoriales dimensionalmente finitos Vy W sobre un campo F, existe un isomorfismo entre V y W si y sólo si dim(V) = dim(W).
Demostración
Sea V un espacio vectorial dimensionalmente finito sobre un campo F y sea b = (x1, ..., xm) una base ordenada de V. Para cada x Î V, existen escalares únicos a1, ..., am Î F tales que x = a1x1 + ... + amxm. Definimos al vector coordenado de x relativo a b como
[ x ]b = ( a1
:
am
),
Es...