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Generalidades

Modelos Matemáticos
El conocimiento y la comprensión son necesarios para la aplicación eficaz de
cualquier herramienta matemática. Si no sabemos cómo funcionan las herramientas, por ejemplo, tendremos serios problemas para reparar un automóvil,
aunque la caja de herramientas sea de lo más completa.
Ésta es una realidad, sobre todo si se utilizan computadoras para resolverproblemas del tipo numérico. Aunque las computadoras tienen una gran utilidad, son prácticamente inútiles si no se comprende como funcionan para el
cĺculo de los problemas. Esta comprensión inicialmente es empírica - es decir,
se adquiere por observación y experimentación -. Sin embargo, aunque esta
información obtenida de manera empírica resulta esencial, sólo estamos a la
mitad del camino.Durante muchos años de observación y experimentación,
sea advertido que ciertos aspectos de sus estudios empíricos ocurren una y
otra vez.
Este comportamiento general puede expresarse como las leyes fundamentales
que engloba, en esencia, el conocimiento acumulado de la experiencia pasada.
Así, muchos problemas se resuelven con el empleo de un doble enfoque: el
empirismo y el análisis teórico.Debe destacarse que ambos están estrechamente
relacionados. Conforme se obtienen nuevas mediciones, las generalizaciones
llegan a modificarse o aun a descubrirse otras nuevas.
De igual manera, las generalizaciones tienen una gran influencia en la experimentación y en las observaciones. En lo particular, las generalizaciones sirven
para organizar principios que se utilizan para sintetizar losresultados de observaciones y experimentos en un sistema coherente y comprensible, del que se
pueden obtener conclusiones.
Desde la perspectiva de la solución de un problema de aplicación, el sistema
es aún más útil cuando el problema se expresa por medio de un modelo
matemático. El primer objetivo es introducir al estudiante a la modelación

UNMSM
Fac. Matemáticas

Notas para el curso deMétodos Numéricos y Programación IV

Prof. Edwin Chávez R.

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matemática y su papel en la solución de problemas aplicados. Se mostrará
también la forma en que los métodos numéricos ayudan en el proceso.

Modelo Matemático
Un modelo matemático se define, de manera general, como una formulación o
una ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o
de un proceso entérminos matemáticos. En general, el modelo se representa
mediante una relación funcional de la forma:

(1)
V ar.Dependiente = f (Var. independientes, parámetros,funciones de fuerza)
donde la var. dependiente es la variable dependiente y es una característica que generalmente refleja el comportamiento o estado de un sistema; las
variables independientes son, por lo común, dimensiones talescomo tiempo y
espacio, a través de las cuales se determina el comportamiento del sistema; los
parámetros son el reflejo de las propiedades o la composición del sistema; y las
funciones de fuerza son influencias externas que actúan sobre el sistema.
La expresión matemática de la ecuación (??) va desde una simple relación
algebraica hasta un enorme y complicado grupo de ecuaciones diferenciales.Por ejemplo, a través de sus observaciones, Newton formuló su segunda ley
del movimiento, la cual establece que la razón de cambio del momentum con
respecto al tiempo de un cuerpo, es igual a la fuerza resultante que actúa sobre
él. La expresión matemática, o el modelo, de la segunda ley es la ya conocida
ecuación

(2)

F = ma

donde F es la fuerza neta que actúa sobre el objeto se mideen (N , o kgm/s2 ),
m es la masa del objeto (kg) y a es su aceleración (m/s2 ).
La segunda ley puede escribirse en el formato de la ecuación (??), dividiendo,
simplemente, ambos lados entre m para obtener
(3)

a=

F
m

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donde a es la variable dependiente que refleja...