genetica

Cap´
ıtulo 1
Diferenciaci´n compleja y las
o
ecuaciones de Cauchy-Riemann
1.1.

Derivada

Si f (z) es un´
ıvoca en alguna regi´n R del plano z, la derivada de f (z) est´ definida como
o
af (z + ∆z) − f (z)
∆z→0
∆z

f (z) = l´
ım

si el l´
ımite existe independientemente de la manera como ∆z → 0. En tal caso decimos que
f (z) es diferenciable en z.
Ejemplo 1.1.1. Encontrarla derivada de w = f (z) = z 3 − 2z usando la definici´n. Luego,
o
calcule f (−1)
Soluci´n:
o
f (z + ∆z) − f (z)
∆z→0
∆z
(z + ∆z)3 − 2(z + ∆z) − (z 3 − 2z)
= l´
ım
∆z→0
∆z
z 3 + 3z 2 ∆z +3z(∆z)2 + (∆z)3 − 2z − 2∆z − z 3 + 2z
= l´
ım
∆z→0
∆z
2
2
= l´ 3z + 3z(∆z) + (∆z) − 2
ım

f (z) =

l´
ım

∆z→0
2

= 3z − 2
f (−1) = 3(−1)2 − 2 = 1

Funciones anal´
ıticas
Si laderivada f (z) existe en todo punto z de una regi´n R entonces diremos que f (z) es
o
anal´
ıtica en R y nos referiremos a ella como una funci´n anal´
o
ıtica en R. Los t´rminos regular
e
yholomorfa son usadas algunas veces como sin´nimos de anal´
o
ıtica.
1

Una funci´n f (z) es llamada anal´
o
ıtica en un punto z0 , si existe una vecindad |z − z0 | < δ, tal
que en cada punto deella f (z) exista.
Un punto en el cual f (z) deja de ser anal´
ıtica es llamado un punto singular o singularidad de
f (z).
Ejemplo 1.1.2. Si w = f (z) =

1+z
, encontrar
1−z

dw
usando ladefinici´n
o
dz
b. Determinar donde f (z) es anal´tica
ı

a.

Soluci´n:
o
dw
=
dz

f (z + ∆z) − f (z)
∆z
1 + (z + ∆z) 1 + z
−
1 − (z + ∆z) 1 − z
= l´
ım
∆z→0
∆z
2
= l´
ım
∆z→0 (1− z − ∆z)(1 − z)
2
=
(1 − z)2
l´
ım

∆z→0

La funci´n f (z) es anal´tica para todo los valores finitos de z, excepto z = 1 donde la derivada
o
ı
no existe y la funci´n no es anal´tica. Elpunto z = 1 es un punto singular de f (z).
o
ı

Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Una condici´n necesaria para que w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) sea anal´
o
ıtica en una regi´n R
o
es que, u y...