geografia

En Física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida por su módulo (o longitud), su dirección (u orientación) y su sentido (que distingue el origen del extremo).[1] [2] [3] Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos(«flechas») en el plano o en el espacio .
En Matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial, esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo, la longitud y la orientación (ver espacio vectorial). En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo.Algunos ejemplos de magnitudes físicas que son magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección y el sentido (hacia donde se dirige); la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de ladirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto.
Desplazamiento (vector)

En mecánica, el desplazamiento es el vector que define la posición de un punto o partícula en relación a un origen A con respecto a una posición B. El vector se extiende desde el punto de referencia hasta la posición final. Cuando se habla del desplazamiento de un cuerpo en el espacio solo importa laposición inicial del cuerpo y la posición final, ya que la trayectoria que describe el cuerpo no es de importancia si es igual a la final.
Volumen y peso de fluido que desplaza un cuerpo flotante.Distancia en determinada dirección y sentido, y en línea recta, que separa la posición inicial y final de un cuerpo al desplazarse: el desplazamiento no coincide con la distancia recorrida, a no ser que elmovimiento sea rectilíneo.

Longitud de la trayectoria

La longitud del elemento diferencial de la trayectoria (en color rojo en la figura) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen longitudes dx y dy,  respectivamente.
dx 2 +dy 2  − − − − − − − −  √ =1+(dy dx  ) − − − − − − − − −  √  2 dx 
La longitud total del camino recorrido por el proyectil esL(θ)=∫ 0 R dx 2 +dy 2  − − − − − − − −  √ =∫ 0 R 1+(dy dx  ) 2  − − − − − − − − −  √ dx=∫ 0 R 1+(−g v 2 0 cos 2 θ  x+tanθ) 2  − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −   ⎷    dx 
Esta integral es de la forma
∫1+u 2  − − − − −  √ du=u 2  u 2 +1 − − − − −  √ +1 2  ln∣ ∣ u+u 2 +1 − − − − −  √ ∣ ∣  
su solución se puede consultar en cualquier libro de Cálculo Diferencial e Integral.L(θ)=−v 2 0 cos 2 θ g  ∫ u 0  u 1  1+u 2  − − − − −  √ du  u=−g v 2 0 cos 2 θ  x+tanθ 
Al cambiar la variable de x a u cambian los límites de la integral.
El límite inferior se obtiene para x=0, es decir, para u0=tanθ
El límite superior se obtiene para x=R, es decir, para u1=-tanθL(θ)=−v 2 0 cos 2 θ g  ∫ u 0  u 1  1+u 2  − − − − −  √ du=−v 2 0 cos 2 θ g  ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (−tanθ 2  1+tan 2 θ − − − − − − − −  √ +1 2  ln∣ ∣ −tanθ+1+tan 2 θ − − − − − − − −  √ ∣ ∣ ) −(tanθ 2  1+tan 2 θ − − − − − − − −  √ +1 2  ln∣ ∣ tanθ+1+tan 2 θ − − − − − − − −  √ ∣ ∣ )  ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪  
Teniendo en cuenta que 1+tan2θ=1/cos2θ
L(θ)=−v 2 0 cos 2 θ g  {−sinθ cos 2 θ  +1 2  ln(1−sinθ cosθ  )−1 2  ln(1+sinθ cosθ  )}= −v 2 0 cos 2 θ g  {−sinθ cos 2 θ  +1 2  ln(1−sinθ 1+sinθ  )}=−v 2 0 cos 2 θ g  {−sinθ cos 2 θ  +1 2  ln(1−sin 2 θ (1+sinθ) 2   )}= −v 2 0 cos 2 θ g  {−sinθ cos 2 θ  −ln(1+sinθ cosθ  )}=v 2 0  g  {sinθ+cos 2 θln(1+sinθ cosθ  )}   
En la figura, se muestra que elcomportamiento de la longitud L del camino recorrido por el proyectil con el ángulo de tiro θ. La longitud aumenta con el ángulo de tiro θ, alcanzando un máximo y luego vuelve a disminuir.

Derivamos L(θ) para hallar el ángulo θ para el...