GEOLOGIA

Notas

resolución de ecuaciones
diferenciales de primer y segundo orden
Metodología para la

Resumen
Se analiza las metodologías utilizadas para resolver

Ecuaciones de primer orden

una ecuación diferencial de primer y segundo grado,

La herramienta matemática necesaria para resolver

llegando a la conclusión de que tales métodos parten

una ecuación de primer grado es: lafactorización de

de uno solo. Asimismo señalamos la herramienta ma-

expresiones algebraicas, las propiedades de los logarit-

temática necesaria para hallar la solución.

mos naturales, y en forma mas especifica integración
por partes.

I Introducción

Ahora bien, con esta definición se pueden señalar

Este trabajo surge de mi experiencia como maes-

que los métodos usuales para lasolución de una ecua-

tro del curso de ecuaciones diferenciales en la Facul-

ción diferencial de primer grado homogénea son 3,

tad de Ingeniería Química y dado que me ha tocado

dado que el método de sustitución (cuya forma son

ver como los estudiantes cometen errores básicos cuan-

y=ux o x=vy) nos lleva al método de separación de

do resuelven una ecuación diferencial de primery se-

variables (primer método). El segundo método es el

gundo grado [1,2], ya que no visualizan que en general

caso de una ecuación exacta, centrándose en el crite-

se trabajan 3 métodos de solución para la ecuación de

rio de la primera derivada parcial

primer orden y 3 para la de segundo orden[3] (ver figura 1 y 2).
Aquí damos tip’s para visualizar mejor la solución de
dichaecuación de primer orden ya sean por separación

y el tercer método es una ecuación de lineal (basado

de variables, del tipo homogéneo (método de sustitu-

en encontrar un factor integrante para así llevarla a la

ción), ecuaciones exactas y ecuaciones lineales (inclu-

forma de una diferencial total[4]) que abarca a la ecua-

yendo la ecuación de Bernoulli). Para el caso de

ciónde Bernoulli y donde dicha ecuación se transfor-

ecuaciones de segundo orden, tenemos a los métodos:

ma en lineal por el cambio de variable de la forma

elaboración de una segunda solución a partir de una

w=y1-n.

solución conocida (formalmente hablando no es un
método completo), ecuaciones con coeficientes cons-

Ecuaciones de segundo orden
Para la ecuación de segundo grado,también se trabajan

tantes, el método de coeficientes indeterminados y el

prácticamente 3 métodos, siendo el primero la elabora-

de variación de parámetros.

ción de una segunda solución a partir de una solución

II Metodología

conocida, ésta se centra en el producto de una función

Iniciamos revisando la definición de ecuación dife-

•

nueva por la función conocida (y=u(x)y1(x))que introducida en la ecuación de segundo orden la reduce a una

rencial según Dennis Zill[1], la cual nos señala que:
Una ecuación que contenga derivadas totales1 de

ecuación de primer orden para obtener una fórmula ex-

una o más variables dependientes con respecto a

plicita y así obtener dicha segunda solución.

una o más variables independientes se le llama una
ecuacióndiferencial.
TEMAS

1

Se recuerda que el caso de ecuaciones que contengan derivadas parciales no esta aquí considerado.

DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA

vol.10

número 30

septiembre-diciembre 2006
pp 49 - 51
TEMAS | septiembre- diciembre 2006

49

FIGURA 1. METODOLOGÍA PARA LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN.
´

obtiene tambien del método de una ecuación con
coeficientesconstantes.
Las aplicaciones tanto de las ecuaciones de primer
como de segundo orden se usan básicamente en el
método de ecuaciones lineales (para problemas de

´

crecimiento y decrecimiento de poblaciones, decaimiento
radiactivo, mezclas químicas, circuitos eléctricos, y ley
´

´

de enfriamiento de Newton) y el de coeficientes indeterminados, respectivamente (Movimiento armónico
simple,...