Geologia

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE
TECNOLOGÍA
JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS

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ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 
 
DEFINICIÓN:  
Una 

ecuación 

que 

puede 

escribirse 

en 

la 

dy
+ P ( x ) y = Q ( x )                                
dx

forma 

Donde  P(x)  y  Q(x)  son  funciones  dadas  de  x,   se  llama  una ecuación  diferencial  de  primer 
orden lineal. 
Es  fácil  verificar  que  la  ecuación  tiene  como  factor  integrante  a  μ ( x) = e
que  al  multiplicar  ambos  lados  de  la  ecuación 

dy
+ P ( x ) y = Q ( x ) por  este  factor  se 
dx

∫ P ( x ) dx dy + P( x) ye ∫ P ( x ) dx = Q( x)e∫ P ( x ) dx (1)      se  aplica  la  regla  del  cálculo  para  la 
dx

om

d ⎛ ∫ Pdx ⎞ ∫ Pdx dy  Lo  cual  la  ecuación  (1)  es 
⎜ ye P ⎟ + e
dx ⎝
dx
⎠

sp

diferenciación  de  un  producto

ot
.c

obtiene e

∫ P( x ) dx   puesto 

lo
g

d ⎛ ∫ P ( x ) dx ⎞
∫ P ( x ) dx                                                                                     
⎜ ye
⎟ = Q ( x )e
dx ⎝
⎠

D
F1
.b

equivalente a 

R

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O
SP

 

.L

IBMÉTODO PARA LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER ORDEN  

w

w

w

 

a)  Para  resolver  una  ecuación  lineal  de  primer  orden,  primero  se  convienen  a  la  forma 
de

dy
dy
+ P ( x ) y = Q ( x )   esto es, se hace que el coeficiente de   sea la unidad. 
dx
dx

b) Se identifica a  P ( x )  y definir el factor integrante,  μ ( x ) = e ∫

p ( x ) dx

 

e∫

p (x ) dx

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c) La ecuación obtenida en el paso a) se multiplica por el factor integrante: 
p ( x ) dx
p ( x ) dx
dy
+ P ( x ) e∫
y = e∫
Q ( x ).  
dx

d)  El  lado  izquierdo  de  la  ecuación  obtenida  en  el  paso  c)  es  la  derivada  del  producto  del 
factor integrante por la variable dependiente, Y; esto es, 

p ( x ) dx
d ⎡ ∫ p( x )dx ⎤
y ⎥ = e∫Q ( x)  
⎢e
dx ⎣
⎦

e) Se integran ambos lados de la ecuación obtenida en el paso d). 

1
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dy
+ 5 y = 50  
dx
dy
Solución: Esto está en la forma  + P ( x ) y = Q ( x ) con P= 5, Q = 50.  
dxEJEMPLO 1 Resolver    

El factor integrante es  μ ( x ) = e ∫

5 dx

= e5 x  

Multiplicando por  e5 x podemos escribir la ecuación 

dy
+ 5 y = 50 como 
dx

d
( ye5 x ) = 50e5 x ⇒ ∫ d ( ye5 x ) = ∫ 50e5 x dx ⇒ ye5 x = ∫ 50e5 x dx  
dx
ye5 x = 10e5 x + c ⇒ y = 10 + ce −5 x
Se podría haber usado también el método de separación de variables. 
 
dy
− 4 y = x 6 e x .   
dxSolución:    Al dividir entre X llegamos a la forma normal 

dx

sp

ot

.c
o

−4
; Q( x) = x5e x  entonces el factor integrante es  
x
 

lo
g

Así escrita reconocemos que  p ( x ) =

dy 4
− y = x5e x .  
dx x

m

EJEMPLO 2: Resolver  x

w

w

w

.L

IB

R

O

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SP
D

−4

F1
.b

−4
μ ( x) = e ∫ x = e−4ln x = eln x ⇒ μ ( x) = x −4
dy 4
− y = x 5e x .  por ese término 
Ahora se multiplica la ecuación
dx x
dy
d
⎡ x −4 y ⎤ = xe x ⇒ integrando
x −4
− 4 x −5 y = xe x ⇒
⎦
dx
dx ⎣
−4
x
−4
x
  
∫ d ⎡ x y ⎤ = ∫ xe dx ⇒ x y = ∫ xe dx( p. p)
⎣
⎦

x −4 y = xe x − e x + c
 
 
 EJEMPLO 3.  Resolver 

0 sea

y = x 5e x − x 4 e x + cx 4

dy
+ y = e3 x  
dx
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p ( x ) = 1; Q( x) = e3 x, entonces el factor integrante es  μ ( x) = e ∫ = e x Multiplicando la 
dx

dy
+ y = e3 x por el factor integrante: 
dx
dy
d
− y e x = e 4 x ⇒ ( y e x ) = e 4 x ⇒ d ( y e x ) = e 4 x dx
ex
dx
dx
e4 x
e3 x
+c⇒ y =
+ ce − x
d ( y e x ) = ∫ e 4 x dx ⇒ y e x = ∫ e 4 x dx ⇒ y e x =
∫
4
4

ecuación 

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EJEMPLO 4.  Resuelva ...