GEOM

Pruebas de Acceso a la Universidad

MATEMÁTICAS II

GEOMETRÍA ANALÍTICA
CUESTIONES
1. Comprobar que los puntos A(3,2,2), B(4,1,0), C(0,1,1) y D(1,0,-1) son vértices de un paralelogramo y
calcular su área. (J94)
Sol.: AB  CD , es además rectángulo; 66 u2
2. ¿Cuál es la posición relativa de los planos: : 2x + y + z + 5 = 0 y ': 2x + 2y + z + 1 = 0? Calcula la
distancia entre ambos. (J94)
Sol.:Se cortan. d=0










 

3. El vector v es ortogonal a los vectores a y b .¿Será ortogonal a los vectores a + b y a - b ?(J94) Sol.:

Sí

4. Los puntos A(1,2,3), B(-1,3,1) y C(1-k,1+k,k) son vértices de un triángulo rectángulo con ángulo recto
en B. ¿Cuánto valdrá k? (J94)
Sol.: k=4
5. ¿Son coplanarios los puntos A(1,0,0), B(0,1,0), C(2,1,0) y D(-1,2,1)? (S94)
Sol.: No
6. Estudiar laposición relativa de las rectas r:

x 1 y 1 z 1


2
3
2

y s: x = 1 y = 1 2z (S94)

Sol.: Se cruzan.

7. ¿Cómo se halla un vector perpendicular a otros dos en el espacio R 3? Obtener un vector


  
perpendicular a los vectores: a (3,1,2) y b (5,4,-1) (S94)
Sol.: a  b = n : ( 9,13,7 )
   
 
8. Poner un contraejemplo para probar que de la igualdad vectorial u  v  u  w no se deducev  w ;
(J95)
Sol.: Los vectores del ejercicio anterior
9. Dado el plano de ecuación ax + by + cz = d, justifica razonadamente cómo ha de ser la ecuación de
otro plano perpendicular a él. (J95)
Sol.: a'x+b'y+c'z=d' con aa'+bb'+cc'=0
10. ¿Qué condición vectorial deben cumplir los puntos A, B, C y D para que estén alineados? Razona la
  
Sol.: rg  AB , AC , AD   1





respuesta. (S95)11. Calcula razonadamente el ángulo que forman el plano 2x 4y 5z = 2 y el plano x + 2y + z = 1. (S95)
Sol.: =47º58' 34''

12. Calcula razonadamente la ecuación que han de cumplir los puntos del espacio que equidistan de
(6,10,-6) y (-4,8,6). (J96)
Sol.: 5x+y6z14=0
13. ¿Qué lugar geométrico del plano forman los puntos (x,y) que cumplen x2 + y2  6x  8y + 21 = 0?
Caracterízalo. (J96)
Sol.:Circunferencia de centro C (3,4) y radio r=2


14. Halla el vector perpendicular a u = (2,3,4) y v = (-1,3,-5) que sea unitario. (S96)
Sol.:   9 , 2 , 3 

 94

94

94 

15. ¿Cómo se caracterizan dos rectas que no se cortan en el espacio? Estudia según el valor del
parámetro m, si se cortan o no las rectas r1 y r2, siendo: r1 ≡ x = t + 2, y = t2, z = 3 t
y
r2 ≡ x = t + m, y = 2t2, z =t
(S96)
Sol.: Si m=2, se cortan en P(2,-2,0); si m2, se cruzan.



16. Si el producto escalar del vector a por el vector v es igual al producto escalar del vector b por el
    

 
vector v ( a  v  b  v ) y el vector v es no nulo. ¿Se deduce que a  b ? Razona la respuesta. (S96)
Sol.: No

   x  y  2z  1
17. Calcular la distancia entre los planos paralelos 
. (J97)
Sol.: =', d (,')=0
   2 x  2 y  4 z  2
18. De dos rectas en el espacio se sabe que no son coplanarias. ¿Qué posiciones relativas pueden tener?
Pon un ejemplo de cada una de esas posibles posiciones. Razona la respuesta. (J97)
Sol.: Se cruzan

19. Calcular el área del triángulo de vértices (1,0,-1), (3,2,1) y (3,0,1). (J97)
20. Dadas las rectas

x 1 y 1 z 1


a
2
1

Sol.: A= 2 2 u2

x  y  by 
, determinar a y b para que sean perpendiculares y se
 y  z 1

corten. (S97)
Sol.: a=3, b=3. Se cortan en P(-2,-1,-2)
__________________________________________________________________________________________________________________________
PAU Geometría Analítica.- Matemáticas II

IES Félix R. de la Fuente

Pág. 1

21. De dos rectas en el espacio se sabe que son coplanarias. ¿Quéposiciones relativas pueden tener? Pon
un ejemplo de cada una de las posibles posiciones. Razona la respuesta. (S97)
Sol.: Paralelas o secantes

22. Determinar la distancia del origen al plano que pasa por los puntos (1,1,2), (2,1,4) y (1,2,4). (S97)
Sol.:   2x+2yz2=0, d=

2
u
3

23. Halla el volumen del tetraedro cuyos vértices son el punto (1, 1, 1) y los puntos en los que el plano
2 3
2x + y...