Geomatria eliptika

Geometría Elíptica
La posibilidad de que pudiera haber otras geometrías alternas diferentes a la geometría de Euclides en donde no se cumpliera la validez del quinto postulado ya había sido considerada en otros tiempos previos a Saccheri, Lambert y Gauss. Una de ellas es la geometría esférica, la cual podemos analizar como la geometría de la superficie de un globo. En esta geometría sedenominan “plano” y “rectas”, respectivamente, a la superficie de la esfera y a las circunferencias de sus círculos máximos. No será difícil de ver que en esta geometría dos “rectas” siempre se cortan en dos puntos diametralmente opuestos. Lo cual al enunciado hipotético de que por un punto exterior a una recta dada no es posible trazar ninguna recta con la cual nunca se cruzará. Por otro lado, la sumade los ángulos internos de un triángulo trazado sobre la superficie de una esfera siempre será mayor que dos ángulos rectos. En un triángulo limitado por un cuarto del ecuador terrestre y por los arcos de dos meridianos trazados hasta el polo Norte, la suma de los ángulos internos será de 270 grados. En vista de que la superficie tiene dos dimensiones es común llamar bidimensional a la geometríaque estudia las figuras que se encuentran sobre una superficie determinada. Al hecho de que existiera una geometría bidimensional no-Euclidiana no se le daba gran importancia por la sencilla razón de que la geometría esférica era estudiada en el plano tridimensional, el cual se daba por hecho de que era Euclidiano, y esto conducía a no darle tanta importancia a las propiedades no-Euclidianas de laesfera. La geometría esférica es un caso especial de una geometría más general, una geometría que está basada no en la superficie de una esfera sino en la superficie de un elipsoide. Un elipsoide es un sólido de revolución que se obtiene haciendo girar una elipse alrededor de uno de sus ejes de simetría. Entendiblemente, a este tipo de geometría se la llama geometría elíptica. La geometríadesarrollada sobre la superficie de un elipsoide es conocida como geometría elíptica. También es conocida como geometría Riemmaniana, en honor al matemático Bernhard Riemman que desarrollo este tipo de geometría.
Geometría sobre la superficie esférica
El análisis de las figuras que se presentan sobre la superficie esférica lo lleva a cabo la Geometría Esférica. Los conceptos fundamentales de estageometría son los siguientes: circunferencias máximas, circunferencias menores, ángulo esférico… Mediante estos conceptos se definen el triángulo esférico y su triángulo polar y además se deducen sus propiedades fundamentales.
Se llama circunferencia máxima a la intersección de la superficie esférica con un plano que pase por su centro.
Se llama circunferencia mínima o menor a aquella que se obtienecomo intersección de la esfera con planos que no pasan por su centro.
Se denominan polos de un ciclo a los extremos del diámetro de la esfera que es perpendicular al plano que define el ciclo.

Dados dos ciclos de una superficie esférica siempre se cortan en dos puntos que son los extremos de un diámetro de la esfera; en efecto, los planos que determinan los dos ciclos se cortanen una recta que pasa por el centro de la esfera, es decir, en un diámetro, luego los extremos del mismo son los puntos en que se cortan los ciclos.
Se llama ángulo esférico entre dos ciclos al ángulo formado por las semitangentes a las circunferencias en uno de sus puntos de contacto. También se puede definir como el ángulo diedro que forman los planos que determinan los ciclos.Modelo esférico
Una manera simple de representar la geometría elíptica es mirar un globo. Líneas vecinas de longitud parecen ser paralelo a la línea ecuatorial, sin embargo, se cortan en los polos.
Más precisamente, la superficie de una esfera es un modelo de geometría elíptica si las líneas se modelan por grandes círculos, y los puntos en...