geomatria

C U R S O : MATEMÁTICA

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 34
UNIDAD: GEOMETRÍA
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
Determinación del plano:
Un plano queda determinado por:
♦

Dos rectas que se intersectan (fig. 1).

P

L1
L2

♦

Tres puntos no colineales (fig. 2).

P
B.

♦

♦

Por una recta y un punto no perteneciente a ella
(fig. 3).

Pordos rectas paralelas (fig. 4).

C.

P

L1
A.

P

A.

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

L1
L2

Fig. 4

EJEMPLO
1.

¿Cuál de las siguientes alternativas es falsa?
A)
B)
C)
D)
E)

Un
Un
Un
Un
Un

plano
plano
plano
plano
plano

está
está
está
está
está

determinado
determinado
determinado
determinado
determinado

por una recta y un punto de pertenecientea la recta.
por los cuatro vértices de un cuadrilátero.
por dos rectas perpendiculares.
por dos lados no consecutivos de un rombo.
por los vértices de un triángulo rectángulo.

DEFINICIONES
Poliedro: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se denomina cara,
sus lados son aristas y la intersección de las aristas se llaman vértices.
Arista
Cara
Vértice
Prisma:Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos polígonos
congruentes cuyos planos son paralelos (bases de prisma).
ÁNGULO DIEDRO: Es el ángulo formado por dos semiplanos, que tienen una arista común y su
medida es el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un mismo
punto.
Ángulo
P2
•
Semiplano
Arista
diedro

P1
•
EJEMPLOS

1.¿Cuánto mide el ángulo diedro formado por los planos P1 y P2 que se cortan
perpendicularmente en la figura 1?
P2
A)
30º
B)
45º
C)
54º
D)
90º
Fig. 1
E)
108º
P1

2.

¿Cuánto mide el ángulo diedro formado por las caras laterales del prisma de la figura 2,
cuya base es un pentágono regular?
A)
B)
C)
D)
E)

30º
45º
54º
90º
108º

Fig. 2

2

CUERPOS GENERADOS PORROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS
ROTACIÓN CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un eje
ESFERA

CILINDRO

eje de giro

CONO

TRONCO DE
CONO

CILINDRO CON
DOS CONOS

radio
r

TRASLACIÓN: Se generan por traslación de una superficie plana:

Prisma triangular

Prisma trapezoidal

Prisma hexagonalPrisma pentagonal

Cilindro circular recto

EJEMPLOS

1.

Dado un triángulo ABC, rectángulo en C (figura 1). ¿Cuál es el cuerpo generado por la
rotación de dicho triángulo en torno a su hipotenusa?
C
Fig. 1
A
A)

2.

B

B)

C)

D)

E)

En la figura 2, se muestra un cuerpo de revolución. Este cuerpo puede ser generado por la
rotación de la región

Fig. 2
I)

A)Sólo I

II)

B)

Sólo II

C)

III)

Sólo III
3

D)

Sólo I y II

E)

Sólo I y III

CUADRO RESUMEN DE ÁREAS Y VOLUMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

NOMBRE
PARALELEPÍPEDO
RECTANGULAR

FORMA

ÁREA

2(ab +bh + ah)

a⋅b⋅h

6a2

h

VOLUMEN

a3

a

b

a

CUBO

a

a

Volumen
Área de la base por
la altura

PRISMA RECTO
RECTANGULAR

B

h(a + b +c)+ 2B
B = área basal

Bh

h

2πrh + 2πr2

πr2 ⋅ h

a

2ag + a2
g = apotema
lateral

1 2
a ⋅h
3

h

a
b

c

CILINDRO RECTO
BASE CIRCULAR

• r
PIRÁMIDE RECTA
BASE CUADRADA

g

h
a

CONO RECTO BASE
CIRCULAR

πrg + πr2
g= generatriz

1 2
πr ⋅ h
3

4πr2

h g

4 3
πr
3

•r

ESFERA

•

r

4

Volumen
Área de la base por
la alturadividido
por tres

EJEMPLOS

1.

¿Cuál es el área y el volumen del prisma de base triangular de la figura 1 cuyas aristas
miden 2 cm?
Área

Volumen

A)

6 + 3 cm

12 + 2 3 cm2

3 cm3

C)

12 + 3 cm2

3 cm3

D)

12 + 2 3 cm2

2 3 cm3

E)

12 + 2 3 cm2

4 3 cm3

¿Cuál es el volumen del cono generado por un triángulo rectángulo cuyos catetos miden
3 cm cada uno?...