geometría analítica

4. Geometría Analítica
La geometría analítica plana se investiga cuando, al introducir sistema de coordenadas, se usan ecuaciones y formas. Si el estudio de geometría analítica se resumiera por medio de un enunciado, quizá lo siguiente sería apropiado:
“Dada una ecuación, encuentre su grafica y, a la inversa, dada una grafica, encuentre su ecuación”
En geometría analítica se trabaja consecciones cónicas, llamadas también Cónicas, entre estas figuras están:
Parábola
Elipse
Hipérbola

Estas tres secciones cónicas no degeneradas, tienen importantes aplicaciones prácticas.























4.1 Parábola
Es el conjunto de todos los puntos (x, y) equidistante de un punto fijo llamado
F (foco) y una recta fija llamada L (directriz) que está en elplano.
Se supone que no está en , porque sto resultaría e una recta. Si es un punto del plano y es el punto en determinado por una recta que pasa por que es perpendicular a , como se muestra en la siguiente figura, por la definición anterior, está en la parábola si y solo si las distancias y son iguales. El eje de la parábola es la recta que pasa por y es perpendicular a la directriz.El vértice de la parábola es el punto sobre el eje situado a media distancia entre y . El vértice es el punto en la parábola más cercano a la directriz.















Para obtener un ecuación sencilla para una parábola, se coloca ele eje a lo largo del eje de la parábola, con el origen en el vértice , como se observa en la siguiente figura. En este caso, el foco tienecoordenadas para algún número real , y la ecuación de la directriz es . Por la fórmula de la distancia, un punto está en la gráfica de la parábola si y solo si ; es decir, si:


Se eleva al cuadrado en ambos lados y se simplifica:




Una ecuación equivalente para la parábola es:


Se ha demostrado que las coordenadas de todo punto sobre la parábola satisface . A la inversa, si es unasolución de , entonces al revertir los pasos previos, se ve que el punto está sobre la parábola.

Si , la parábola abre hacia arriba, como en la figura siguiente. Si , la parábola abre hacia abajo. La gráfica es simétrica con respecto al eje porque la sustitución de por no cambia la ecuación .

Si se cambian los papeles de y , se obtiene:
o bien, lo que es equivalente,Esta es una ecuación de una parábola con vértice en el origen, foco y abre a la derecha si o a la izquierda si . La ecuación de la directriz es .
















Ejemplos:

1. Hallar la ecuación de una parábola, cuyo foco es F(0, 4) y directriz y = - 4

Solución:

La ecuación de la parábola es:2. Encontrar el foco y directriz de la parábola y trazar la gráfica.

Solución:

La ecuación tiene la forma con . Al igual que y por tanto:


La parábola abre hacia abajo y el foco es .
La directriz es la recta horizontal , que está a una distancia arriba de .











3. Hallar el foco y directriz de la ecuaión

Solución:












4. Trazar lagráfica de

Solución:

La ecuación puede escribirse de la forma .
Se escribe la ecuación dada como:

y luego se completa el cuadrado al sumar a ambos lados:

















5. Encontrar la ecuación de la parábola que tenga vértice en el origen, abra a la derecha y pase por el punto P(7, -3)
Solución:
La ecuación de una parábola con vértice en el origen que abre a laderecha, tiene la forma de para algún número . Si P(7, -3) está sobre la gráfica, entonces se puede sustituir 7 por y -3 para hallar :

Entonces la ecuación para la parábola es:


4.2 Elipse
Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano, la suma de cuyas distancias desde dos puntos fijos (los focos) en el plano es una constante positiva.
Se puede trazar una elipse en...