Geometría Analítica

GEOMETRIA ANALITICA
Razón de un segmento
Para determinar las coordenadas de un punta P que divide a un segmento cuyos extremos son P1(x1,y1) y P2(x2,y2) en la razón,r=P1P/ PP2, se aplica el siguiente-procedimiento. Por los puntos P1,P y P2 se trazan perpendiculares a los ejes coordenados; como las rectasparalelas P1Q1,PQ y P2Q2 interceptan segmentos proporcionales sobre las dos transversales P1P2 y Q1 Q2 se establece que P1P/ PP2 = Q1Q/QQ2 .

Las coordenadas de los puntos trazados sobre el eje x son:Q1(x1 ,0), Q(x,0) y Q2 (X 2, 0) y sobre el eje y son:R 1 (0, y2 ), R(0,y) y R2 (0,y2). La distancia dirigida de cada segmento Q1Q = x - x1 y QQ2= x2 -x, se sustituye en la ecuación de la razón, y resulta: r=P1P/PP2= Q1Q/QQ2 = x-x1/x2-x = r Al despejar para x tenemos:x-x1=r(x2-x) x-x1=rx2-rx x+rx=x1 + rx2.

Las rectas paralelas P1R1, PR y P2R2 interceptan segmentos proporcionales sobre las dos transversales
P1P2 y R1R2 ; por lo anterior La distancia dirigida de cadasegmento R1R = y- y1 y RR2=y2 − y, se sustituye en la ecuación de la razón, y resulta:

Si P (x,y ) es el punto medio del segmento P1P 2, la razón es igual a la unidad, es decir:


Ejemplos:
1. Encontrar las coordenadas del punto P que divide al segmento determinado por A(8,2) y B(-5,7)
en la razón r = ¾.
Al->sustituir->en, ,tenemos : las coordenadas del punto buscado son:
Algraficar:

2. El extremo del diámetro de una circunferencia de centro P1 (7, − 6) es P2 (2,2); encontrar las coordenadas P (x, y) del otro extremo. Gráficamente suponemos que:
Como P1P y PP2 son de sentido opuesto la relación r debe ser negativa;


Al sustituir los datos en lasfórmulas, resulta:


Las coordenadas del punto buscado son P(12, −14).
3. Para el tendido de un cableado telefónico sobre una calle se requieren cuatro postes, los cuales deben estar separados por distancias iguales. Si el primero de los postes se encuentra en uno de los extremos del cableado que esta en el punto A(60, 90), según un sistema coordenado como el que se muestra en la figura, y el últimoen el extremo que se localiza en B(-30, -30), se deben determinar las coordenadas de los puntos C y D para colocar ahí los otros dos postes entre A y B.
Las longitudes están dadas en metros. Puesto que los puntos C y D dividen al segmento comprendido entre los puntas A y B en tres segmentos, AC, CD y DB, de igual longitud, siendo el punto C el mas cercano al punto A, como se muestra en lafigura, se tiene que:












Lo que significa que uno de los postes debe colocarse en el punto C(30, 50). De la misma manera, puesto que los puntos C y D dividen al segmento comprendido entre log puntos A y B en tres segmentos de igual longitud, siendo el punto D el mas lejano al punto A, se cumple que:



Lo que significa que el otro poste debe colocarse en el punto C(0, 10).Las soluciones encontradas se muestran en la siguiente figura:








Coordenada del punto medio
En esta sección se quiere mostrar la formula para las coordenadas PM (XM ,YM) del punto medio del segmento que une los puntos P1 (x1 , y1) y P2 (x2 , y2).
PM esta en la mitad entre P1 y P2. Del dibujo podemos apreciar que X1 y X2. Este resultado lo podemosdeducir a través de la semejanza entre los triangulos P1 AP2 y PmBP2.

La distancia entre Xm y x1 es (x2 – x1)/ 2 .Asi Xm esta (x2-x1)/2 unidades mas alla de x2. Esto es xm = x1 +(x2 –x1) /2.
Realizando la suma y simplificando queda: Xm= x1+x2 /2

Igualmente podemos verificar que:

Es decir: las cordenadas...