Geometría Analítica

UNIDAD VIII DIVISIÓN DE POLINOMIOS
División de Polinomios. Para la división de dos polinomios, por la división larga, se siguen los siguientes pasos:
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Se ordenan los términos de ambos polinomios según las potencias en orden decreciento o creciente respecto a una de las literales comunes a ambos polinomios. Se divide el primer término del dividendo por el primero del divisor, conlo que resulta el primer término del cociente. El resultado del cociente se multiplica por el divisor, para después restar este producto del dividendo. Una vez realizada esta resta, ahora se centra la atención en este resultado, se divide entre el divisor para formar el segundo termino del cociente. Se multiplica nuevamente este resultado por el divisor, restándolo nuevamente del anteriorresultado. Este procedimiento se realiza de manera consecutiva hasta reducir el residuo a cero o a un polinomio de menor orden que el divisor. Si el residuo es cero, entonces el cociente y el divisor son factores del dividendo. Ejemplo:

División sintética. La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una manera mascompacta y sencilla de realizar la división. Ilustraremos como el proceso de creación de la división sintética con un ejemplo: 1

Semestre Cero Agosto Diciembre 2011

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Comenzamos dividiéndolo normalmente

Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos términos durante el procedimiento, los términos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusión, aligual que no es necesario bajar los términos . al eliminar estos términos: repetidos el ejercicio nos queda

Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x, así:

Como para este tipo de división solo se realiza con para divisores de la forma x – c entonces los coeficientes de la partederecha siempre son 1 – c, por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo, también se puede lograr una forma más compacta al mover los números hacia arriba, nos queda de la siguiente forma: 2
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Si ahora insertamos a la primera posición del último renglón al primer coeficiente del residuo (2), tenemosque los primeros números de este renglón son los mismos coeficientes del cociente y el último número es el residuo, como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente.

Esta última forma se llama división sintética, pero ¿como hacerla sin tanto paso?, ahora les presentamos los pasos para llevar a cavo la división sintética: 1. Se ordenan los coeficientes de los términos en un ordendecreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta 2. Después escribimos “c” en la parte derecha del renglón 3. Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer renglón. 4. Multiplicamos este coeficiente por “c” para obtener el primer numero del segundo renglón (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada). 5. Simplificamos de maneravertical para obtener el segundo número de el tercer renglón. 6. Con este último número repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el último número del tercer renglón, que será el residuo. Ejemplos:

3

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Donde -108 es el residuo

Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en elresultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentes. Para generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo. Para el uso de este método puede ser positivo o negativo. Dividir 8 x 5 + 3 x 4 − 2 x 3 + 4 x − 6 por x + 1 Solución Paso 1 Establezca la división sintética colocando los coeficiente del dividendo y el valor de...