Geometría diferencial.

Páginas: 114 (28308 palabras) Publicado: 10 de noviembre de 2013
Geometria diferencial I
Dr. David Del´pine
e

1

Instituto de F´
ısica de la Universidad de Guanajuato
Loma del Bosque, N 103
Col. Lomas del Campestre
CP-37150 L´on, Gto
e

Enero 1, 2005

1

email: delepine@fisica.ugto.mx; tel: ext. 8424

2

Contenido
1 Introducci´n
o

5

2 Curvas
2.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.2Definici´n de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.2.1 Preliminares analiticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Elaboraci´n de una definici´n de curva. . . . . . . . . . .
o
o
2.3 Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Ecuaci´n impl´
o
ıcita de las curvasplanas . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Envolvente de una familia de curvas planas . . . . . . . . . . . .
2.6 Rectificaci´n o longitud de un arco . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.7 Representaciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Abscisa curvilinea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Vector tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
2.8 Curvas planas (curvatura) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Vector normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Curvatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 Formulas de Frenet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.4 La evoluta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.5 Calculo pr´ctico de la curvatura. .. . . . . . . . . . . . .
a
2.9 Curvas espaciales (triedro de Frenet) . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1 Torsi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.9.2 Proyecciones de la curva sobre los planos del triedro movil.
2.9.3 Calculo pr´ctico de la curvatura y de la torsi´n. . . . . .
a
o

7
7
13
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57
58
5963
64
66

3 Superficie
3.1 Definiciones . . . . . . . . . . . .
3.2 Curvas sobre una superficie . . .
3.2.1 Coordenadas curvilineas.
3.3 Planos tangentes . . . . . . . . .
3.3.1 Orientaci´n. . . . . . . . .
o
´
3.4 Area . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Vector normal . . . . . . . . . . .

69
69
73
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78
80
80

3

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4
3.6

Primera forma fundamental . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

3.7

Curvatura normal (triedro de Darboux, segunda forma fundamental) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

3.7.1

Triedro de Darboux-Ribaucour. . . . . . . . . . . . . . . .

87

3.7.2

Segunda forma fundamental. . . . . . . . . . . . . . . . .

89

3.7.3

Curvas asintoticas. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

92

Direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

3.8.1

Puntos ombilicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

3.8.2

Direcciones y curvaturas principales . . . . . . . . . . . .

94

Clasificaciones de los puntos de una superficie . . . . . . . . . . .

97

3.9.1

98

3.8

3.9

La indicatora de Dupin.. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.10 Curvatura total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.10.1 La aplicaci´n de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
o
3.11 Curvatura geodesica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.12 Superficies arregladas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.13 Superficies de revoluci´n...
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