Geometría En El Espacio

Matemáticas II

Geometría del espacio

1

Puntos, rectas y planos en el espacio
Observación: La mayoría de los problemas resueltos a continuación se han propuesto en los exámenes de Selectividad. 1. La recta x =

1− y 2 − z corta a los tres planos coordenados en tres puntos. = 3 2 Determina las coordenadas de estos puntos, las distancias existentes entre cada par de ellos e indica cuáles el que se encuentra en medio de los otros dos.

Solución:

 x=t 1− y 2 − z y −1 z − 2  La recta x = ⇔ x= ⇒ (en paramétricas)  y = 1 − 3t = = 3 2 −2 −3  z = 2 − 2t  Puntos de corte con los planos coordenados. • Con el plano x = 0 (⇒ t = 0): A = (0, 1, 2) • Con el plano y = 0 (⇒ t = 1/3): B = (1/3, 0, 4/3) • Con el plano z = 0 (⇒ t = 1): C = (1, −2, 0) Distancias: d(A, B) =

13 1  22   + (−1) +  −  = 3  3  3

2

2

d(A, C) = 12 + (−3) 2 + (−2) 2 = 13
2 14 2  4 d(B, C) =   + (−2) 2 +  −  = 3 3  3 Las distancias halladas son los módulos de los vectores 2 4 1 2 AB =  ,−1,−  ; AC = (1, −3, −2); BC =  ,−2,−  3 3 3 3
2 2

Como los tres vectores tienen el mismo sentido y el más largo es AC, la situación debe ser así:

El punto intermedioes B.

José María Martínez Mediano

Matemáticas II

Geometría del espacio

2

2. Considera los puntos del espacio A(0, 0, 1), B(1, 1,2) y C(0, −1, −1). a) Encuentra la ecuación del plano ABC. b) Si D es el punto de coordenadas (k, 0, 0), ¿cuánto ha de valer k para que los cuatro puntos A, B, C y D sean coplanarios? Solución: a) Como AB = (1, 1, 1) y AC = (0, −1, −2), la ecuacióngeneral viene dada por: x 1 0 y 1 − 1 = 0 ⇔ −x + 2y − z + 1 = 0 ⇔ x − 2y + z − 1 = 0 z −1 1 − 2

b) El punto D(k, 0, 0) será del plano cuando cumpla su ecuación; esto es: k−0+0−1=0 ⇒ k=1 Por tanto, D = (1, 0, 0).
3. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 1, 0) y es paralela al eje z (una ecuación: la que quieras). Haz un esquema dibujando los ejes, el punto y la recta. Solución:x = 0 La ecuación del eje z es  (corte de los planos x = 0 e y = 0 y = 0) x = 1 La ecuación de la paralela pedida será  (corte de los y = 1 planos x = 1 e y = 1) Gráficamente.
4. Halla las coordenadas del punto intersección de la recta
2x − y + z − 1 = 0 .
x −1 y −1 z −1 y del plano = = 1 0 −1

Solución: Las ecuaciones paramétricas de la recta dada son: x = 1 + t  r ≡  y =1 z = 1 − t Sustituyendo en la ecuación del plano se tiene: 2(1 + t) − 1 + (1 − t) −1 = 0 ⇒ t + 1 = 0 ⇒ t = −1

 x = 1 −1  El punto de corte será  y = 1 → P(0, 1, 2)  z = 1 − (−1) 

José María Martínez Mediano

Matemáticas II

Geometría del espacio

3

5. a) Calcula las ecuaciones implícitas de la recta r1 que pasa por los puntos A = (1, 2, 3) y B = (2, 2, 3). b) Calcula la ecuación generaldel plano π que pasa por los puntos A, B y C = (2, 2, 4). c) ¿Cuántos planos distintos pueden formarse con los puntos A, B, C y D = (1, 2, 4)? Justifica tu respuesta. d) Prueba que los puntos A, B, C y D anteriores forman un cuadrado y calcula su área. Solución: a) El vector de dirección de la recta es: AB = (2, 2, 3) − (1, 2, 3) = (1, 0, 0) x = 1 + t y = 2  Sus ecuaciones paramétricas son: y = 2 ; o bien:  z = 3  z=3  b) El vector BC = (2, 2, 4) − (2, 2, 3) = (0, 0, 1) El plano π está determinado por el punto A y por los vectores AB y BC; su ecuación es: x −1 1 1 π: y − 2 0 0 = 1 ⇒ π: y = 2 z −3 0 1

c) El punto D también cumple la ecuación del plano π; por tanto, los cuatro puntos sólo definen un plano. d) Los puntos A, B, C y D formarán un cuadrado cuando los vectores AB,BC, CD y DA sean correlativamente perpendiculares y todos tengan el mismo módulo. Como AB = (1, 0, 0), BC = (0, 0, 1), CD = (−1, 0, 0) y DA = (0, 0, −1) se comprueba que: AB · BC = 0, BC · CD = 0, CD · DA = 0 y DA · AB = 0 También es obvio que todos tienen módulo 1. Por tanto, su área será 1 unidad cuadrada.
 x = 1 + 3t  6. Se considera la recta de ecuación paramétrica: r ≡  y = −1 + t  z =...