Geometría en el Plano

U.A.H. Actualización de Conocimientos de Matemáticas para…

1

Tema 5B. Geometría analítica del plano
La geometría analítica estudia las relaciones entre puntos, rectas, ángulos, distancias…, de un
modo algebraico, mediante fórmulas algebraicas y ecuaciones. Para ello es imprescindible
utilizar un sistema de referencia: un punto fijo (origen) y unos ejes (cartesianos) y una
orientación. Talreferencia es bien conocida. Aquí se indica de manera breve.
Los ejes cartesianos son perpendiculares.
En el punto de corte se sitúa el origen: O(0, 0).
El eje horizontal se llama eje de abscisas, eje OX, eje de las
x. A la derecha del origen las abscisas son positivas; a la
izquierda, negativas.
El eje vertical se llama eje de ordenadas, eje OY, eje de las
y. Por encima del origen las ordenadas sonpositivas; por
debajo, negativas.
Cualquier punto del plano se designa por dos números, en
general por sus coordenadas x e y: P(x, y).
Para calcular la distancia entre dos puntos se aplica el
teorema de Pitágoras, “dibujando” un triángulo rectángulo cuyos catetos son paralelos a los
ejes. Así, por ejemplo, la distancia entre los puntos A y D de la figura es la longitud de la
hipotenusa del triángulorectángulo de catetos 3 y 4.
Para medir ángulos, su vértice se sitúa en el punto O, siendo uno de sus lados el eje positivo
OX; los ángulos se consideran positivos si se abren en sentido inverso al movimiento de las
manecillas de un reloj, y negativos en el mismo sentido de dicho movimiento. El ángulo de
inclinación de cualquier recta es el que forma con el eje OX.
7. Vector fijo y vector libreEl vector que tiene por origen el punto A y por extremo el punto B, se llama vector fijo AB .
•

Módulo del vector AB es la longitud del segmento AB. Se denota AB .

Dirección de AB es la de la recta que contiene a A y a B.
• Sentido de AB es el que indica el traslado de A a B.
• Dos vectores fijos son equipolentes si
tienen el mismo módulo, la misma
dirección y el mismo sentido. Si AB y
•

CD sonequipolentes, entonces el
polígono de vértices A, B, D y C (en ese
orden) es un paralelogramo.
• Se llama vector libre a un vector y a todos los que son equipolentes a él; esto es, todos los
que se obtienen trasladándolo (paralelamente). Entre ellos tiene especial importancia el que
tiene su origen en el origen de coordenadas, en el punto O.
Correspondencia entre puntos y vectores
Entre puntos deR2 y vectores libres del plano existe una biyección:
A cada vector AB , equipolente a OP , se le asocia el punto P.
r
A cada punto P se le asocia el vector p = OP .
r
Se escribe, indistintamente, P = (a1 , a 2 ) o p = (a1 , a 2 ) . Así, el vector
r
OV de la figura es v = (4, 2).

José María Martínez Mediano

U.A.H. Actualización de Conocimientos de Matemáticas para…

2

8. Operaciones convectores libres: suma y multiplicación de un vector por un número
r
r
Si a = (a1 , a 2 ) y b = (b1 , b2 ) , entonces:
r r
• a + b = ( a1 , a2 ) + (b1 , b 2 ) = ( a1 + b1 , a2 + b2 ) .
r r
• a − b = (a1 , a 2 ) − (b1 , b 2 ) = (a1 − b1 , a 2 − b2 ) .
r
r
r
• λa = (λa1 , λa2 ) . Si λ > 0, λa tiene el mismo sentido que a ; si λ < 0, sentido contrario.
Ejemplo:
r
r
Si A = (1, −2) y B = (3, −1), se tendrá: a= (1, −2); b = (3, −1).
r r
• a + b = (1, −2) + (3, −1) = (4, −3).
r r
• BA = a − b = (1, − 2) − (3, −1) = (−2, −1).
r r
• AB = b − a = (3, −1) − (1, −2) = (2, 1).
r
• 2 a = 2(1, −2) = (2, −4)

Interpretación geométrica de las operaciones con vectores libres
Para sumar dos vectores se unen en el origen y se forma un paralelogramo, tal como se indica
en la figura; su suma es el vector determinadopor la diagonal que parte del origen común. Su
diferencia es la otra diagonal.
Punto medio de un segmento de extremos A = (a1 , a 2 ) y B = (b1 , b2 ) . Es el extremo del vector
1
OM = OA + AB . Sus coordenadas vienen dadas por
2
 a1 + b1 a 2 + b2 
M =
,
.
2 
 2
Ejemplo:
1+ 5 3 +1
Para A(1, 3) y B(5, 1), su punto medio es M = 
,
 = (3, 2 )
2 
 2
Combinación lineal de vectores. Bases...