Geometría No Euclidiana
Páginas: 349 (87172 palabras)
Publicado: 26 de noviembre de 2012
´ ESTRUTURAS GEOMETRICAS ˜ EM DIMENSAO 2
Celso Melchiades Doria cmdoria@mtm.ufsc.br
1
Celso M Doria
autor: Celso M Doria
ii
Sum´rio a
1 Introdu¸˜o ca 5 1.0.1 Teorema Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1 Fluxo de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Coment´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 12 a 2 Conceitos B´sicos a 2.1 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Classes Laterais e Teorema de Lagrange 2.1.3 Homomorfismos de Grupos . . . . . . . 2.2 M´tricas Riemannina . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2.1 Grupo de Isometria . . . . . . . . . . . 2.2.2 Aplica¸˜es Conformes . . . . . . . . . . co2.3 A¸˜es de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . co 15 15 20 21 23 25 31 32 33 41 42 43 56 65 69 74 75 81 81 81 84 86 88 92 94 95
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . ..
. . . . . . . .
3 Geometria Euclideana 3.1 Geod´sicas em E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2 Isometrias de E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Subgrupos Discretos de Isom(E2 ) . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Grupos Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Classifica¸˜o dos Subgrupos Discretos de Isom(E2 ) ca 3.3.3 Superf´ ıcies e OrbitaisEuclideanos . . . . . . . . . 3.4 2o -m´todo para obter as geod´sicas de E2 . . . . . . . . . e e 4 Geometria Esf´rica e 4.1 A Esfera S2 . Coordenadas . . . . . 4.1.1 Coordenadas Esf´ricas . . . . e 4.1.2 Outras Coordenadas sobre S2 4.2 M´trica Esf´rica . . . . . . . . . . . e e 4.3 Transforma¸˜es Ortogonais em E3 . co 4.4 Geod´sicas de S2 . . . . . . . . . . . e 4.5 Isometrias de S2 . . . . . . .. . . . 4.6 Rela¸˜es M´tricas em S2 . . . . . . . co e 1
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
´ SUMARIO ´ 4.6.1 Area de um Triˆngulo Esf´rico a e Subgrupos Discretos de Isom(S2 ) . . . 4.7.1 A¸˜es de Zn e Dn sobre S2 . . co 4.7.2 Grupos Triangulares . . . . . . Superf´ ıcies eOrbitais Esf´ricos . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Celso M Doria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 104 105 106 112 115 115 117 121 123 126 132 132 134 135 137 137 141 141 146 147 147 149 149 150 151 157 157 160 167 169 173 176 176 178 183 186 191192 194 195 202
4.7
4.8
5 Geometria Hiperb´lica o 5.1 Espa¸o Hiperb´lico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c o 5.1.1 Reflex˜es no Espa¸o Hiperb´lico . . . . . . . o c o 5.2 Geod´sicas de H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.2.1 Produto Angular entre Geod´sicas . . . . . . e 5.3 Isometrias de H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Modelos para o Espa¸o Hiperb´lico . . .. . . . . . . c o 5.4.1 H2 : O Modelo de Poincar´ . . . . . . . . . . e P 2 : Modelo de Minkowski . . . . . . . . . . 5.4.2 HM 5.4.3 H2 : Modelo de Klein . . . . . . . . . . . . . K 5.5 Rela¸˜es M´tricas Hiperb´licas . . . . . . . . . . . . co e o 5.5.1 Distˆncia Hiperb´lica . . . . . . . . . . . . . a o ˆ 5.5.2 Convexidade e Angulos em H2 . . . . . . . . 5.5.3 Rela¸˜es M´tricas em Triˆngulos...
Celso Melchiades Doria cmdoria@mtm.ufsc.br
1
Celso M Doria
autor: Celso M Doria
ii
Sum´rio a
1 Introdu¸˜o ca 5 1.0.1 Teorema Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1 Fluxo de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Coment´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 12 a 2 Conceitos B´sicos a 2.1 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Classes Laterais e Teorema de Lagrange 2.1.3 Homomorfismos de Grupos . . . . . . . 2.2 M´tricas Riemannina . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2.1 Grupo de Isometria . . . . . . . . . . . 2.2.2 Aplica¸˜es Conformes . . . . . . . . . . co2.3 A¸˜es de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . co 15 15 20 21 23 25 31 32 33 41 42 43 56 65 69 74 75 81 81 81 84 86 88 92 94 95
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . ..
. . . . . . . .
3 Geometria Euclideana 3.1 Geod´sicas em E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2 Isometrias de E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Subgrupos Discretos de Isom(E2 ) . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Grupos Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Classifica¸˜o dos Subgrupos Discretos de Isom(E2 ) ca 3.3.3 Superf´ ıcies e OrbitaisEuclideanos . . . . . . . . . 3.4 2o -m´todo para obter as geod´sicas de E2 . . . . . . . . . e e 4 Geometria Esf´rica e 4.1 A Esfera S2 . Coordenadas . . . . . 4.1.1 Coordenadas Esf´ricas . . . . e 4.1.2 Outras Coordenadas sobre S2 4.2 M´trica Esf´rica . . . . . . . . . . . e e 4.3 Transforma¸˜es Ortogonais em E3 . co 4.4 Geod´sicas de S2 . . . . . . . . . . . e 4.5 Isometrias de S2 . . . . . . .. . . . 4.6 Rela¸˜es M´tricas em S2 . . . . . . . co e 1
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
´ SUMARIO ´ 4.6.1 Area de um Triˆngulo Esf´rico a e Subgrupos Discretos de Isom(S2 ) . . . 4.7.1 A¸˜es de Zn e Dn sobre S2 . . co 4.7.2 Grupos Triangulares . . . . . . Superf´ ıcies eOrbitais Esf´ricos . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Celso M Doria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 104 105 106 112 115 115 117 121 123 126 132 132 134 135 137 137 141 141 146 147 147 149 149 150 151 157 157 160 167 169 173 176 176 178 183 186 191192 194 195 202
4.7
4.8
5 Geometria Hiperb´lica o 5.1 Espa¸o Hiperb´lico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c o 5.1.1 Reflex˜es no Espa¸o Hiperb´lico . . . . . . . o c o 5.2 Geod´sicas de H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.2.1 Produto Angular entre Geod´sicas . . . . . . e 5.3 Isometrias de H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Modelos para o Espa¸o Hiperb´lico . . .. . . . . . . c o 5.4.1 H2 : O Modelo de Poincar´ . . . . . . . . . . e P 2 : Modelo de Minkowski . . . . . . . . . . 5.4.2 HM 5.4.3 H2 : Modelo de Klein . . . . . . . . . . . . . K 5.5 Rela¸˜es M´tricas Hiperb´licas . . . . . . . . . . . . co e o 5.5.1 Distˆncia Hiperb´lica . . . . . . . . . . . . . a o ˆ 5.5.2 Convexidade e Angulos em H2 . . . . . . . . 5.5.3 Rela¸˜es M´tricas em Triˆngulos...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.