Geometría por Dario Duran

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CAPÍTULO 0
ESBOZOS DE LÓGICA MATEMÁTICA Y DEMOSTRACIONES
La lógica es la higiene que el matemático practica
para mantener sus ideas saludables y fuertes.
Hermann Weyl (1885-1955)
INTRODUCCIÓN 0.
Desde la infancia se ha oído hablar de la lógica. Expresiones como “es lógico” y “él razonó
lógicamente” son usuales entre los estudiantes. Sin embargo, al tratar de profundizar sobre elsignificado de dichas expresiones no se avanza demasiado. Este capítulo tiene la enorme pretensión de
que los estudiantes adquieran ciertos “hábitos lógico-matemáticos” para que puedan disfrutar de sus
clases de matemática.
La palabra lógica proviene del griego λογοσ (logos) y significa discurso o raciocinio.
Discurso es la facultad racional con que se infieren unas cosas de otras, sacándolas porconsecuencia
de sus principios o conciéndolas por indicios y señales. Raciocinar es usar la razón para conocer y
juzgar, y raciocinio es la facultad de raciocinar.
La lógica es la rama de la filosofía que estudia el razonamiento y, en particular, las inferencias.
La lógica matemática es el estudio sistemático de los razonamientos correctos para diferenciarlos de los
incorrectos, usandosímbolos y métodos de la matemática. La lógica es la armazón donde se construyen
las demostraciones rigurosas. Sin la lógica no sería posible estructurar demostraciones.
La lógica fue introducida por el filósofo griego Aristóteles (384-322 AC) 1 , quién estudió la
teoría de la deducción, es decir, los métodos para deducir proposiciones a partir de otras. El primero
que vio la posibilidad de aplicarlos métodos matemáticos en el estudio de la lógica fue Gottfried
Wilhelm von Leibniz (1646-1776), quién trató de hallar una linguis universalis. Estos métodos fueron
estudiados extensamente por los ingleses George Boole (1815-1864) y Augustus De Morgan (18061878).
En este capítulo se introducen las proposiciones y su cálculo; se introducen los argumentos
válidos e inválidos; se estudian lasformas proposicionales y su cuantificación y, al final, se dan
ejemplos sobre las demostraciones en matemática.
COMENTARIO 0.1.
La matemática, como toda ciencia que escudriña la realidad y estudia un aspecto de la Naturaleza,
transmite todo su conocimiento a la gente común a través de los profesores. En muchas ocasiones es
difícil comunicar a los demás nuestras propias experiencias y ello sedebe, en parte, a la diversidad de
significados que generalmente posee una palabra. Por esta razón es necesario definir cada término
técnico de la ciencia, es decir, explicitar el significado preciso de cada palabra no habitual que se use.
Una definición debe usar palabras más conocidas y simples que aquélla que se pretende definirr, y
llegará un momento en que encontremos palabras que no sepuedan simplificar más o, que
sencillamente no se quieran convertir en más simples. Las palabras que no se definen reciben el
nombre de términos primitivos.
Una oración gramatical es la unidad del lenguaje que expresa un sentido completo. Ya que es
muy complicado hablar con monosílabos necesitamos de las oraciones gramaticales para comunicarnos
y, para construir dichas oraciones, se aceptanpalabras en español con su significado natural. Después
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AC significa antes de Cristo.

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de establecidos los términos primitivos todo otro término técnico debe definirse y a esto se debe la
importancia de las definiciones en matemática. Generalmente una definición se hace porque dicho
concepto aparece repetidamente en el discurso matemático.
Toda definición consta de dos expresiones que sellaman el definiendum y el definiens. La
primera de ellas es la palabra o conjunto de palabras que se deben definir y aclarar, y la segunda de
ellas es la expresión que define o aclara.
EJEMPLO 0.1.
“Un triángulo se dice isósceles si tiene dos lados iguales” es una definición cuyo definiendum ees
“triángulo isósceles” y su definiens es “triángulo que tiene dos lados iguales”. Para darse...