Geometría

SEGMENTOS
PARTES DE LA GEOMETRIA:
La geometría para un mejor estudio de las figuras geométricas se divide en dos partes:

1) Geometría plana (planimetría): Estudia las figuras geométricas cuyos elementos están contenidos en un mismo plano.

2) Geometría del espacio (estereometría). Estudia las figuras geométricas cuyos elementos están contenidos en diferentes planos.


ELEMENTOSFUNDAMENTALES DE LA GEOMETRIA
Estos elementos no tienen una definición propiamente dicha, solamente tenemos una idea.


1) RAYO: Es una porción de recta limitada en un extremo e ilimitada en el otro.


Notación:
Se lee: rayo OA

2) LINEA RECTA
Es una sucesión ilimitada de puntos, los cuales siguen una misma dirección.


Notación:
Se lee: recta L1

3) SEGMENTO DE RECTA: Es la porción derecta comprendida entre dos puntos de ella, a los cuales se les llama extremos.

Notación:
Se lee: segmento de recta AB
A y B extremos

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:
Es el punto medio que divide al segmento en dos segmentos de igual longitud.



AM = MB = a

M: Punto medio de

OPERACIONES CON LONGITUDES DE SEGMENTOS

1) Suma de segmentos



x = a + b
2) Resta de segmentosX = b – a


EJEMPLOS

1) En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; tal que CD = 4AC y BD – 4AB= 20. Calcular BC
Resolución:
Si: CD = 4AC  AC = a CD = 4ª

Si: BD – 4AB= 20
(4a + x) – 4(a – x) = 20
5x = 20  x = 4
BC = 4

Análogamente, C es punto medio de , entonces: AC = CD  14 = CD
Por lo tanto:
AD = 14 + 14 = 28

2) Sobre Una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C y D de tal manera que AC = 28 y BD = 36. Calcular MN , siendo M y N puntos medio del y respectivamente.
Resolución:

Sea: BC = 2a
AB = 28 – 2a  MB = 14 – a
CD = 36 – 2a  CN = 18 – a
x = 14 – a + 2a + 18 – a  x = 32
MN = 32

3) Se tiene los puntos A, B y C , colineales y consecutivos. ¿Qué expresión es equivalente a: AC2 – BC2 ?
i. AC2 – AB x AC
ii. 2AC x AB2 –AB2
iii. (AC + BC)AB

Resolución:

Sea AB = a y BC = b
AC2 – BC2 = (a + b)2 – b2
AC2 – BC2 = (a + 2b)(a)
AC2 – BC2 = (a + b + b)(a) = (AC + BC)(AB)
Rspta: iii

4) En una recta se marcan los puntos consecutivos A, B, C , luego se toma el punto medio M del segmento BC. Calcular AM , si
Resolución:

Dato:



AM = 8

PROBLEMAS EXPLICADOS

1) En una línea recta se tiene lospuntos consecutivos A, B, C, D, E; tal que AC + BD + CE = 35 , además BD = AE. Hallar AE

Resolución:

AC + BD + CE = 35 ….(1)
AC = a + b ; BD = b + d ; CE = d + e
En (1): a + b + b + d + d + e = 35
Ordenando: (a + b + c + d + e)+ (b + d) = 35
AE + BD = 35  AE + AE = 35 
AE = 20

2) Los puntos A,B, C, D, E se encuentran sobre una línea recta, de tal forma queBC = 2AB , AD = 20, AB x CE = AC x BD . Calcular DE
Resolución:

Sea: DE = x ; AB = a BC = 2AB = 2a
CE = 20 – 3a + x
AC = 3a
BD = 20 –a
Reemplazando en el dato:
AB x CE = AC x BD
a(20 – 3a + x )=3a(20 – a)
20 – 3a + x = 60 – 3a
x = 40


3) En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C tal que AB + AC = 18, luego se toma el punto medio M del segmento BC. Hallar AM.Resolución:

Sea: AM = x
Dato: AB + AC = 18
(x – a) + (x + a) = 18  2x = 18
x = 9

4) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D de modo que AB =4; BC = 3; CD = 5. Hallar
Resolución:

AC = 4 + 3 = 7 ; BD = 3 + 5 = 8
AD = 4 + 3 + 5 = 12


5) Los puntos A, B, C, D son colineales sobre una recta, donde C es punto medio de . Hallar:
Resolución:




6) Sobre una rectase toman los puntos consecutivos A0, A1, A2, A3, A4, …. De modo que: A0A1 = 1, A1A2 = 1/3, A2A3 = 1/9, A3A4 = 1/27…Hallar la suma de todos los segmentos dados.
Resolución:

S =
Como se trata de una progresión geométrica de razón q = 1/3 ,entonces:


7) En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C .Los puntos M y N son puntos medios de y .Si AB= 8 y BC = 6. Calcular...